에 대한 세 가지 수 솔루션 찾기 $x[(x-2)^2+1]=6$

Question

에 대한 세 가지 수 솔루션 찾기 $x[(x-2)^2+1]=6$

시행 착오 방법을 사용하여 정수 솔루션을 찾았습니다. $x$, 가능한 한 가지 해결책이 $x=3$. 그러나 정수가 아닌 다른 두 가지 솔루션이 있으며 찾는 방법을 모르겠습니다.

도움을 주셔서 감사합니다. 감사합니다.

Answer 1

$$x(x^2-4x+5)=6$$

$$x^3-4x^2+5x-6=0$$

$$(x-3)(x^2-x+2)=0$$

당신은 판별을 확인하기 만하면 $x^2-x+2$ 부정적이며 다른 실제 뿌리가 없다고 결론을 내립니다.

다른 근을 찾으려면 이차 공식을 사용하여 나머지 근을 찾을 수 있습니다.

Answer 2

교육받은 시행 착오를 통해 :

연습에 쉬운 해결책이 있다고 가정하면 정수가 가능합니다. $6$ 요인 $2\cdot3$ 두 번째 요소는 완전 제곱 +1이므로 $3$. 그때$x=3$ 빙고입니다!

이제 미지의 변화를 $x:=z+3$, 우리는

$$z^3+5z^2+8z=0$$ 또는 $$z\left(\left(z+\frac52\right)^2+\frac74\right)=0,$$ 해결하기 쉽습니다.

Answer 3

정수 솔루션을 찾고, 방정식 $x[(x-2)^2+1]=6$ 다음과 같다 $$\begin{cases}x=2,\\(x-2)^2+1=3, \end{cases}\qquad\text{or}\qquad\begin{cases}x=3,\\(x-2)^2+1=2. \end{cases}$$ 첫 번째 시스템의 두 번째 방정식은 $(x-2)^2\equiv -1\mod 3$. 불행히도, 유일한 사각형 모스.$3$ 아르 $0$ 과 $1$, 따라서이 첫 번째 시스템에는 솔루션이 없습니다.

두 번째 시스템의 두 번째 방정식은 $(x-2)^2=1$, 즉 $x-2=\pm 1\iff x=3\;\text{ or }\;x=1 $. 뿐$x=3$ 첫 번째 방정식과 호환됩니다.

따라서 단일 정수 솔루션이 있습니다. 다른 솔루션의 경우 lhs를 확장하여 다음으로 나눌 수있는 3 차 방정식을 얻을 수 있습니다.$x-3$: $$x^3-4x^2+5x-6=0\iff (x-3)(x^2-x+2)=0$$

이차 방정식 $x^2-x+2=0$ 복잡한 켤레 뿌리가 있습니다. $$x=\frac{1\pm i\sqrt 7}2.$$