어떻게 $A$ 관련 $B$ 만약 $A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$?

Aug 20 2020

에 대한 $A \geq B$, 둘 다 양의 정수입니다. $A$$B$ 다음이 사실입니까? $$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$$

이전에 나는이 질문이 여기 있을 수 있다고 물었고 그것을 반증하는 반례가 보여졌다. 이제 조건을 찾을 수 있는지 물어보고 싶습니다.$A$$B$) 위의 내용이 사실입니다.

내가 주목 한 한 가지는 (원래 게시물에서 @Clement Yung의 답변-감사합니다!) $B = \lceil A/k \rceil$ (모든 상수 $k$), 위의 내용은 거짓입니다. 다른 경우가 거짓인지, 아니면 항상 참일 때 조건이 있으면 더 좋을지 궁금합니다.

답변

1 Anatoly Aug 20 2020 at 21:14

먼저 다음과 같은 경우를 고려하십시오. $A=B$ 그리고 $A/B=1$. 이 경우$\lfloor A/B\rfloor=\lceil A/B\rceil=1$, 그래서 OP의 불평등은

$$A-3\lfloor A/B \rfloor \leq B \lfloor A/B \rfloor$$ $$A-3\leq A $$

사소한 사실입니다.

만약 $A/B>1$, 다음 $\lfloor A/B\rfloor+1=\lceil A/B\rceil$, 불평등이

$$A-3\lfloor A/B \rfloor -1\leq B \lfloor A/B \rfloor$$ $$A-(B+3)\lfloor A/B \rfloor -1\leq 0$$ $$\lfloor A/B \rfloor\geq \frac{A-1}{B+3}$$

OP의 초기 불평등을 만족시키기 위해 필요한 조건입니다.


예를 들어 $A=5$$B=2$이면 조건이 만족됩니다. $$\lfloor 5/2 \rfloor=2 > \frac{5-1}{2+3}=\frac 45$$

따라서 이러한 값에 대해 초기 불평등이 유지됩니다.

$$5-2-3\leq 2\cdot 3$$ $$0\leq 6$$

또 다른 예로서 $A=12$$B=7$이면 조건이 충족되지 않습니다. $$\lfloor 12/7 \rfloor=1 < \frac{12-1}{7+3}=\frac {11}{10}$$

따라서 이러한 값에 대해 초기 불평등은 유지되지 않습니다.

$$12-1-2\leq 1\cdot 7$$ $$9\leq 7$$

ClementYung Aug 21 2020 at 12:39

$ \newcommand{\f}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{\c}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} $ 쓰기 고려 $A = NB + k$ 일부 $N \in \Bbb{Z}^+$$0 \leq k < B$. 두 가지 경우를 고려합니다.

만약 $k = 0$ (즉 $A$ 의 배수입니다 $B$) 그런 다음 부등식을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. \ begin {align *} A-\ f {A / B}-\ c {A / B} \ leq \ f {A / B} (B + 1) & \ iff NB-2N \ leq N (B + 1) \\ & \ iff -2N \ leq N \\ & \ iff N \ geq 0 \ end {align *} 항상 유지됩니다. 만약$k > 0$, 다음 : \ begin {align *} A-\ f {A / B}-\ c {A / B} \ leq \ f {A / B} (B + 1) & \ iff (NB + k)-N -(N + 1) \ leq N (B + 1) \\ & \ iff k-2N-1 \ leq N \\ & \ iff 3N + 1 \ geq k \ end {align *} 고정$B \in \Bbb{Z}^+$, 이제 모든 정수를 분류 할 수 있습니다. $A$ 그 가치를 고려하여 불평등이 충족되도록 $k$ (즉, 나머지 $A$ 나눌 때 $B$, 가능한 많은 값을 사용합니다.) 특히$3N + 1 \geq B - 1$이면 불평등이 즉시 충족됩니다.