간단한 모듈에 대한 파생 펑터 계산

Aug 19 2020

중히 여기다 $M =\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$$R = \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$기준 치수. 나는 무엇을 계산하려고 노력하고있다$Ext_{R}^n(M,M)$ 모두를위한 것 $M$. 이를 위해

$$\cdots \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3}\mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\text{projection}} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \rightarrow 0$$

자유 (따라서 투영) 해상도 여야합니다. 계산하려면$Ext_{R}^n(M,M)$, 나는 이제 상 동성 그룹을 취합니다. $$0 \rightarrow \text{Hom}(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3}\text{Hom}(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3}\text{Hom}(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3} \cdots.$$ 이후 $\text{Hom}(R,M) \cong M$, 위는 체인입니다 $$0\rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\xrightarrow{\times 3} \cdots$$ 그래서 커널은 모두 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 그리고 이미지는 $0$ 그래서 $Ext_R^N(M,M) = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 모든 $n$. 이것이 맞습니까, 사소한 오류를 범했습니까, 아니면 중요한 것을 근본적으로 오해 했습니까? (아니면 둘다!)

답변

3 MaximeRamzi Aug 19 2020 at 15:28

사소한 실수를했습니다. 정확한 펑터가 있다면 $F$, 그리고 당신은 $L_*F(X)$, 당신은 투영 해상도를 가지고 $P_*\to X$ 그리고 다음의 상 동성을 취하십시오 $F(P_*)$, 하지 의 상동$F(P_*\to X)$.

그래서 당신의 사소한 실수는 당신이 상 동성 그룹을 찾고 있다는 것입니다. $\hom(\mathbb Z/3,\mathbb Z/3)\to \hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3) \to \hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3) \to \dots$

(참고로, 첫 번째지도는 신원으로 식별됩니다. $\mathbb Z/3\to\mathbb Z/3$, 아님 $\times 3$, 투영의 이중이므로 $\mathbb Z/9\to\mathbb Z/3$)

당신이 찾고있는 상 동성을 가진 체인 콤플렉스는 $\hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3)$그 안에 있습니다. 그러나 그것은 당신이 말하는 결과를 제공합니다.