가능합니까? $2^{2A}+2^{2B}$ 정사각형 숫자입니까?
A와 B를 다음보다 큰 두 개의 양의 정수로 둡니다. $0$. 가능합니까?$2^{2A}+2^{2B}$ 정사각형 숫자입니까?
답이 '아니오'라는 느낌이 들기 때문에이 연습에 어려움을 겪고 있지만 증거에 대해 자세히 설명 할 수 없습니다. 지금까지 내가 생각한 것은 정수가 있다고 가정하는 것이 었습니다.$C>0$ 그런 $2^{2A}+2^{2B}=C^2$. 그때$$(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$$앞의 표현이 모순이 될 수 있는지 알아 보려고했지만 막혔습니다. 내가 찾을 수있는 것은$C$짝수 여야하지만 아무데도 가지 않는 것 같습니다. 도움을 주시면 감사하겠습니다.
미리 감사드립니다!
답변
일반성을 잃지 않고 $A>B$. 그때$2^{2A}+2^{2B}=2^{2B}(2^{2A-2B}+1)$ 정사각형은 의미 $2^{2A-2B}+1$ 정사각형 $2^{2B}$사각형입니다. 그러나 이것은 불가능합니다$2^{2A-2B}$ 사각형입니다.
Shubhrajit Bhattacharya의 답변은 다음과 같은 간단하고 직접적인 증거를 제공합니다. $2^{2A}+2^{2B}$사각형이 될 수 없습니다. 그러나 재미를 위해 OP의 접근 방식을 마무리합시다 (처음에는 막 다른 골목으로 이어 졌다고 생각했습니다).
만약 $(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$, 다음 $(2^A+2^B+C)(2^A+2^B-C)=2^{A+B+1}$, 의미하는 것은 $2^A+2^B+C$ 과 $2^A+2^B-C$ 둘 다의 힘이다 $2$, 그리고 분명히 다른 힘$2$, 말 $2^a$ 과 $2^b$ 와 $a\gt b$ 과 $a+b=A+B+1$. 그러나 이것은
$$2(2^A+2^B)=2^a+2^b$$
이제 일반성을 잃지 않고 가정하면 $A\ge B$, 우리는
$$2^{B+1}(2^{A-B}+1)=2^b(2^{a-b}+1)$$
지금 $a\gt b$ 암시 $2^{a-b}+1$ 다음보다 큰 홀수 $1$, 우리는 $A\gt B$ (그렇지 않으면 왼쪽은 $2$, 다음보다 큰 홀수의 배수가 아닙니다. $1$). 이것은 차례로 의미$b=B+1$ 과 $a-b=A-B$, 우리가 얻는
$$a+b=(a-b)+2b=(A-B)+2(B+1)=A+B+2$$
모순으로 $a+b=A+B+1$.
비고 : 여기서 모순의 본질에 조금 놀랐고, 어리석은 산술 실수를하지 않았는지주의 깊게 확인해야했습니다.
그냥 해.
일반성을 잃지 않고 다음과 같이 가정하십시오. $A \le B$ 그래서
$2^{2A} + 2^{2B}=$
$2^{2A} (1 + 2^{2B-2A})=$
$(2^A)^2 [1 + 2^{2B-2A}]=$
$(2^A)^2 [(2^{B-A})^2 + 1]$.
그래서 그것이 완벽한 제곱이라면 우리는 $(2^{B-A})^2 + 1$ 완벽한 정사각형입니다.
그러나 $(2^{B-A})^2$완전 제곱이므로 두 개의 연속 된 완전 제곱이 있습니다. 발생하는 유일한 시간은$0^2$ 과 $1^2$. (부록으로 증명).
따라서 이것이 일어날 수있는 유일한 방법은 $(2^{B-A})^2 = 0$ 과 $(2^{B-A})^2 + 1=1$.
그러나 $2^{B-A} = 0$ 불가능합니다.
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부록 : 그러면 두 개의 연속 된 사각형 만 $0$ 과 $1$.
증거 : 가정 $m^2 = n^2 + 1$. 어디$m,n$ 음이 아닌 정수입니다. $n^2 < m^2 = n^2 + 1 \le n^2 + 2n + 1= (n+1)^2$ 그래서 $n < m \le m+1$. 그러나 사이의 유일한 정수$n$ (독점) 및 $n+1$ (포함)은 $n+1$ 그래서 $m = n+1$. 그래서$n^2 + 1 = m^2 = (n+1) = n^2 + 2n + 1$ 그래서 $2n = 0$ 과 $n = 0$ 과 $m =1$.
그것을 가정 $2^{2A}+2^{2B}$완벽한 정사각형입니다. 일반성을 잃지 않고 가정$A \geqslant B$. 그런 다음$A-B=x$, 어디 $x$음이 아닌 정수입니다. 다음과 같습니다.$$2^{2A}+2^{2B}=(2^B)^2 \cdot (2^{2x}+1)$$이제 LHS가 완전 제곱이면 RHS도 완전 제곱이어야합니다. 그것은 다음과 같습니다$2^{2x}+1$완벽한 정사각형입니다. 하자$n^2$. 우리는 다음을 가지고 있습니다.$$2^{2x}=n^2-1=(n-1)(n+1)$$ 이제 우리는 $n-1$ 과 $n+1$ 둘 다의 완벽한 힘이 $2$. 이것은$n=3$. 그러나 그럼에도 불구하고 우리는$2^{2x}=8$ 그것은 불가능합니다 $x$정수입니다. 따라서 솔루션이 없습니다.
우리는해야 $k^2=4^{A}+4^{B}\equiv 1+1= 2\pmod 3$, 불가능 $k^2 \equiv 0,1 \pmod 3$.