거의 확실한 수렴 및 Lacunary 시퀀스
시퀀스의 예가 있습니까 $X_n$ 모든 lacunary 시퀀스에 대해 $n_k$ 그것은 그것을 보유 $X_{n_k}$ 거의 확실하게 수렴 $0$,하지만 $X_n$ 거의 확실하게 수렴하지 않습니다 $0$?
시퀀스 $n_k$ 존재하는 경우 빈약하다 $\lambda > 1$ 그래서 $n_{k+1} > \lambda n_k$ 모든 $k$.
답변
확률 공간은 $[0,1]$Lebesgue 측정으로.
허락하다 $$ X_{2^n + m} = \cases{I_{[m/n^2,(m+1)/n^2]} & if $0 \ le m <n ^ 2$ \\ 0 & otherwise.}$$ 분명히 $X_n$사방으로 갈라진다. 만약$n_k$ 빈약 한 경우 고정 된 숫자가 있습니다. $M$ (와 연관되다 $\log_2 \lambda$) 기껏해야 $M$ 의 $n_k$ 어떤 거짓말 $[2^n, 2^{n+1})$, 이들 각각이 0이 아닌 세트는 최대 측정 값을 갖습니다. $\frac 1{n^2}$. 따라서 Borel-Cantelli Lemma를 사용하면$X_{n_k} \to 0$ 같이
당신은 또한 만들 수 있습니다 $X_n$독립적이지만 동일한 분포입니다. 그런 다음$X_n$ 두 번째 Borel-Cantelli Lemma를 사용하여 분기합니다.
받아 들여진 대답이 분명 하듯이 Borel Cantelli 기본형은 이것을 시퀀스를 찾는 훨씬 쉬운 질문과 동일하게 만듭니다. $p_k\ge 0$ 그것은 합산 할 수 없지만 모든 lacunary subsequence를 합산 할 수 있도록합니다.
예를 들어 $p_t$ 감소하는 함수로 $\sum_{k=1}^{\infty}p_{k}=\infty$, 처럼 $p_t = 1/t$ ...에 대한 $t\in \mathbb{R}_{+}$. 허락하다$X_n$ 독립적 인 Bernoulli의 시퀀스 $(p_n)$랜덤 변수. 그때$\sum_{k=0}^\infty \mathbb{P}(X_k> 0) = \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k} = \infty$, 거의 확실하게이 순서는 $1$ 무한히 자주 (비슷하게, 그것은 될 것입니다 $0$무한히 자주). 따라서 확률로$1$, 수렴하지 않습니다. 반면에, 모든 간결한 시퀀스에 대해$n_k$, 약간있을 것입니다 $\lambda > 1$ 그래서 $n_k > \lambda^k n_1$. 따라서,
$$ \sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{P}(X_{n_{k}} > 0) = \sum_{k=1}^{\infty}p_{n_{k}}\le \sum_{k=1}^{\infty}p_{\lambda^{k}n_{1}} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n_{1}\lambda^{k}} < \infty $$ 그래서 확률은 $X_{n_{k}} > 0$ 무한히 자주 $0$ Borel Cantelli에 의해 시퀀스가 수렴됩니다. $0$ 거의 확실합니다.