거의 모든 선형지도 $V\rightarrow V$ (이러한 맵의 특정 아핀 부분 공간에서) 반전 가능
나는 논문을 쓰고있다. 엄격하게하고 싶은 결과가 있지만 어떻게해야할지 정확히 모르겠습니다. 설정은 다음과 같습니다.
진짜 유클리드 공간이 있어요 $V$ 동형 인 $\mathbb{R}^n$. 모든 선형 맵 세트를 고려하십시오.$\operatorname{L}(V)$ ...에서 $V$ 그 자체로, 그것은 집합에 동형입니다 $n\times n$ 행렬 이상 $\mathbb{R}$. 이것은 또한 실제 유클리드 공간이며$\mathbb{R}^{n^2}$. 마지막으로$A\subset\operatorname{L}(V)$원점을 포함하지 않는 일부 유사 부분 공간이어야합니다. (제 논문에서 이것은 본질적으로 모든 선형 맵의 아핀 공간입니다.$f:V\rightarrow V$ 만족스러운 $f^*(v)=v$ 0이 아닌 벡터의 고정 선택 $v\in V$.)
제가 말하고 싶은 것은 " 거의 모든지도가$A$ 가역적입니다 (유도 된 Lebesgue 측정 값과 관련하여 $A$, 비가역 맵 세트의 측정 값은 0입니다). "
이것은 확실히 사실입니다. 그러나 제 공동 저자는 이것이 제가 생각하는 것만 큼 사소한 일이라고 확신하지 않습니다.
나의 추론 : 우리는 $A$ 아핀 부분 공간으로 $\mathbb{R}^{n^2}$. 결정자$\operatorname{det}:\mathbb{R}^{n^2}\rightarrow\mathbb{R}$ 다항식이므로 $\operatorname{det}$ 계속 켜져 있습니다. $A$ 또는 0 세트 $A$측정 값이 0입니다. 원하는 결과는 행렬식이 0이 아닌 경우에만 선형 변환이 가역적이라는 관찰 결과입니다.
이것이 유효한 추론입니까? 여기서 인용 할 수있는 접근 가능한 것이 있습니까?
제쳐두고 나는 이것이 어디에서 오는지 언급하고 싶었습니다. 양자 정보 이론에서 양자 채널 은 선형 맵입니다.$\Phi:M_m\rightarrow M_m$그것은 완전히 긍정적이고 흔적 보존입니다. 특히, 모든 양자 채널은 또한 Hermitian 보존입니다 . 그래서 우리는 그것을 세트의 선형 맵으로 볼 수 있습니다.$m\times m$실제 유클리드 공간 인 에르 미트 행렬. 제가 말하고 싶은 것은 다음과 같습니다. 거의 모든 양자 채널은 선형 맵으로 반전 할 수 있습니다. (하지만 역 매핑은 일반적으로 채널도 아닙니다.)
답변
귀하의 경우에 한 가지 방법이 있습니다. 당신은보고 있습니다$A_v= \{ T\in L(V) : Tv=v \}$ 어디 $v$0이 아닌 벡터입니다. 넓히다$v$기초로. 그런 다음이 기초와 관련하여$T\in A_v$ 형식의 행렬이있는 경우 $$[T]= \begin{bmatrix} 1 & * \\ 0 &B\end{bmatrix}$$ 어디 $B\in M_{n-1}(\mathbb R)$
그래서 당신은 확인했습니다 $A_v \cong\mathbb R^{n^2-n}$ 과 $T\in A_v$ 뒤집을 수 있습니다 $\det B \neq 0$. 그래서 그것은 다항식의 0 집합의 보수입니다.$\mathbb R^{n^2-n}$ 따라서 측정이 있습니다 $0$.
편집 : 좀 더 일반적인 프레임 워크에서 문제를 살펴 보겠습니다. $V$ 무한 장 위의 벡터 공간입니다. $k$ 같은 질문을합니다. $L(V)=M_n(k)$Zariski 토폴로지가 장착되어 있습니다. 쉽게 알 수 있습니다.$M_n(k)$환원 할 수 없습니다. 따라서 비어 있지 않은 모든 오픈 세트는 조밀합니다. 특히$GL_n(k)=\{ T \in L(V) : \det(T)\neq 0 \}$조밀 한 개방형 하위 집합입니다. 이후$A \subset M_n(k)$아핀 선형 부분 공간이며 또한 환원 할 수 없습니다. 그래서 만약$A\cap GL_n(k)$ 비어 있지 않으면 $A$. 결론은 하나의 반전 가능한 맵의 존재가 해당 아핀 부분 공간에서 반전 가능한 맵의 밀도를 제공한다는 것입니다.