그룹의 조건은 무엇입니까 $G$ 두 정규 부분 군의 곱과 같음

Question

만약 $G$ 그룹이고 $N,M$두 개의 정규 하위 그룹입니다. 우리는 제품이$NM$ 다음의 정상 하위 그룹입니다. $G$,하지만 언제 그렇게 말할 수 있습니까? $G=NM$. 조건은 무엇입니까?$N,M$?

Answer 1

이 예에서 언급 된 모든 그룹이 유한하다고 가정합니다.
예 : if$|G:M|$ 과 $|G:N|$이다 서로 소 한 후,$G=NM$. 증명:$|G:NM| \mid |G:M|$ 과 $|G:NM| \mid |G:N|$.
또 다른 예 : if$|M|$ 과 $|N|$코 프라임 이고$|G|=|N| \cdot |M|$, 다음 $G=NM$.
또 다른 예 : if$M$되는 최대 하위 그룹 및$N \not \subseteq M$, 다음 $G=NM$.

유한 그룹의 (일반적인) 인성 이론에 익숙 하다면 : if$\varphi$ 의 캐릭터입니다 $M$ 및 유도 제한 $(\varphi^G)_N$ 환원 할 수없는 경우 $G=NM$.

Answer 2

집중적으로 연구 된 좀 더 일반적인 질문이 있습니다. $G=AB$ 하위 그룹 용 $A,B$? 그러한 그룹$G$인수 분해 가능 이라고하며 이에 대한 많은 문헌이 있습니다.

예를 들어, 몇 가지 사소한 조건이 있습니다. $AB$ 의 하위 그룹입니다. $G$ 경우에만 $AB=BA$, 보다

허락하다 $A,B$ 그룹의 하위 그룹 $G$. 알다$AB$ 의 하위 그룹입니다. $G$ 경우에만 $AB=BA$

분해 가능한 그룹에 대한 참조 : 예를 들어 Arad 및 Amberg, B의 많은 논문. Franciosi, S. 및 Degiovanni 및 기타, 또한 Gorenstein, Herstein의 논문 .

더 많은 참조는 이 MO 게시물을 참조하십시오 .