기본 미분 방정식, Boyce, 섹션 2.2, 연습 19 (분리 가능한 방정식)

Question

연습은 초기 값 문제를 해결하는 것입니다.

$$\sin{(2x)}\mathrm dx+\cos(3y)\mathrm dy = 0$$ $$y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi3$$

우리는 $\cfrac{-\cos{(2x)}}{2}+\cfrac{\sin{(3y)}}{3}=K$, 및 $y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi3$ 우리는 결론 $$\cfrac{-\cos{(\pi)}}{2}+\cfrac{\sin{(\pi)}}{3}=K \Rightarrow K = \cfrac{1}{2}\text.$$ 그때: $$\cfrac{\sin{(3y)}}{3}=\cfrac{1}{2}+\cfrac{\cos{(2x)}}{2}=\cos^2{x} \implies \sin{(3y)}=3\cos^2{x}$$.

솔루션이 왜 $y=\cfrac{\pi-\arcsin{\left(3\cos^2{x}\right)}}{3}$ 그리고 단순히 $y=\cfrac{\arcsin{\left(3\cos^2{x}\right)}}{3}$? 내가 도대체 ​​뭘 잘못하고있는 겁니까?

어떤 도움을 주셔서 감사합니다.

Answer 1

$\sin(3y)=3\cos^2(x) \Rightarrow y= \dfrac{ \text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$

당신이 이것을 할 때, 당신은 $\sin(3y)$ 근처에서 뒤집을 수 있습니다. $\frac{ \pi}{2}$. 그러나 중앙에있는 모든 열린 공에서$\frac{ \pi}{2}$ 존재 포인트 $a< \frac{ \pi}{2}< b$ 그런 $\sin(3y(a))=\sin(3y(b))$ 광장 때문에 $cos(x)$. 따라서 솔루션의 도메인을 선택할 때주의해야합니다.

해결책 $y= \dfrac{ \pi - \text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$ 유효 할 때 $x \in [0, \dfrac{ \pi}{2} ]$ 동안 $y= \dfrac{\text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$ 유효 할 때 $x \in [\dfrac{ \pi}{2}, \pi ]$.