기대 계산에 관한 질문 [중복]

Question

허락하다 $X$ 과 $Y$ 두 개의 랜덤 변수가됩니다.

나는 책 상태를 발견 $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ 증거없이.

가장 간단한 경우에 대한 증거는 다음과 같을 수 있습니다. $E(X + Y) = \sum p_i (X + Y) = \sum (p_i X + p_iY) = \sum (p_i X) + \sum (p_i Y) = E(X) + E(Y)$.

그러나 Y에 해당하는 확률이 $q_i$ 과 $p_i \ne q_i$ 일반적으로?

Answer 1

참고 : 간단하게 작성하겠습니다.$f(x,y)$ 대신에 $f_{XY}(x,y)$. 다음 증명은 연속 사례이지만 유사한 증명은 개별 사례 또는 일반적으로

$$\mathbb{E}[X+Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+y)f(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,y)dxdy+\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y)dxdy=$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(y|x)dy}_{=1}+\int_{-\infty}^{+\infty}yf(y)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x|y)dx}_{=1}=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]$$

편집 : 이산 사례

$$\mathbb{E}[X+Y]=\sum_x\sum_y (x+y)p(x,y)=...$$