곡률 방정식이 주어지면 적합한 매개 변수 방정식 패밀리를 어떻게 찾을 수 있습니까?
주어진 곡률에 대한 파라 메트릭 방정식을 찾는 특별한 경우에 대한 몇 가지 질문과 답변을 여기에서 보았습니다. 예 : 곡률이 주어진 곡선에 대한 매개 변수 방정식을 찾습니다 . 그러나 나는 일반적인 과정을 이해하지 못합니다. 누군가가 과정을 안내해 줄 수 있습니까?
나는 다음과 같은 형태의 파라 메트릭 방정식에 관심이 있습니다.
$$\gamma(s)=(x(s),y(s))$$
따라서 서명 된 곡률
$$\kappa=\frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^\frac{3}{2}}$$
내 질문은
방정식이 주어지면 $\kappa(s)$, 솔루션 제품군을 어떻게 찾습니까? $\gamma(s)$?
만족하는 독특한 곡선이 있다고 가정합니다. $\kappa(s)$, 최종 솔루션에는 세 개의 상수가 있지만 $x_0$, $y_0$, 및 $\theta$, 이러한 곡선의 임의의 변환 및 회전 (또는 일부 등가물)을 인코딩합니다. 직관적으로 곡률은 전체 곡선의 변환 또는 회전에 신경 쓰지 않습니다.
마지막으로, 저는 단순히 지나치게 낙관적 인 학부이기 때문에 1 차 미분 방정식을 학문적으로 만 다루었 고 곡률 만 독학했습니다. 어쨌든 나는 개념적으로 각각을 이해합니다. 따라서 대략적인 이해 수준에 대한 답변을 주시면 감사하겠습니다.
답변
임의의 회전 및 평행 이동뿐만 아니라 곡선의 반사 및 매개 변수도 있습니다. 따라서 먼저 곡률의 정의가 다음과 같은 표준 호 길이 매개 변수를 취하십시오.$$\mathbf{t}'(s)=\kappa(s)\mathbf{n}(s)$$ 어디 $\mathbf{t}(s)=(x'(s),y'(s))$ 접선 벡터이고 $\mathbf{n}(s)=(-y'(s),x'(s))$'the'법선 벡터입니다. 후자는 부호까지만 정의되어 있으므로 임의로 하나를 선택해야합니다. 이것은 곡선의 손길, 즉 반사를 수정합니다.
따라서 풀어야 할 미분 방정식은 다음과 같습니다. $$\begin{pmatrix}x''(s)\cr y''(s)\end{pmatrix}=\kappa(s)\begin{pmatrix}-y'(s)\cr x'(s))\end{pmatrix}$$ 2 차 방정식으로 이것은 4 개의 적분 상수를 제공해야하지만 arclength 제약이 있습니다. $(x')^2+(y')^2=1$, 따라서 실제로 세 개의 상수 만 남아 있습니다. 두 개는 변환 용이고 하나는 회 전용입니다.
내가 "나는 1 차 미분 방정식을 학문적으로 만 다루었 다"라고 말했듯 이, 내 질문에 대한이 대답은 결점으로 가득 차 있을지 모르지만 이것이 내가 찾고 있던 일반적인 형태라고 믿습니다. 통찰력을 주신 Chrystomath에게 감사드립니다.
만약 $(x')^2+(y')^2=1$, 다음
$$\kappa=x'y''-y'x''$$
또한, $(x')^2+(y')^2=1\implies y''=-\frac{x'x''}{y'}$
$$\implies -\kappa y'=x''\implies\kappa^2(y')^2=(x'')^2\implies\kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2$$
허락하다 $u=x'$
$$\implies \kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2=\kappa^2(1-u^2)=(u')^2\implies\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm u'$$ $$\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm \frac{du}{dt}\implies\pm\kappa dt=\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$$ $$\implies\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)+c_1$$ $$\implies c_1\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)\implies u=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\implies x'=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\therefore x=\int\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$
비슷한 논리로 다음과 같습니다.
$$y=\int\cos(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$
따라서 파라 메트릭 방정식을 찾을 수 있습니다 (일반적으로 $\sin$ 과 $\cos$) 되려고
$$\gamma(s)=\begin{pmatrix} x_0+\int_0^s\cos(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt \cr y_0+\int_0^s\sin(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt\end{pmatrix}$$
Chrystomath가 예언 한대로 보라, 세 개의 상수 (변환을위한 2 개와 회전을위한 1 개)와 반사 (로 표시) $\pm$)!