곡선의 로컬 링 결정
로컬 링 결정 $\mathcal{O}$ ...에서 $(0,0,0)$ 세 좌표 축으로 구성된 곡선의 $\mathbb{A}^3$. 그런 다음 로컬 링을 결정하십시오.$(0,0)$ 곡선의 $xy(x - y)= 0$ 이 두 번째 곡선이 첫 번째 곡선과 동형이 아님을 증명합니다.
내 시도 로컬 링의 정의에 따라$\mathcal{O}$ 첫 번째 곡선은 모든 합리적 함수의 집합입니다. $f/g$ 그런 $g$세 축에서 사라지지 않습니다. 두 번째 곡선의 경우 로컬 링은 모든 합리적 함수의 집합입니다.$f/g$ 그런 $g$ 사라지지 않는다 $x=0$ 또는 $y=0$ 또는 $x=y$. 이것이 운동이 실제로 요구하는 것입니까, 아니면 여기에 링에 대한 더 구체적인 설명이 필요합니까? 그래도 생각할 수없는 것 같습니다. 두 곡선 사이의 동형에 대해 저는 접선 공간이 국소 불변이라는 사실을 사용하려고 생각했습니다. 두 접선 공간이 다르다는 것을 보여줌으로써 두 곡선이 동형이 될 수 없음을 증명했을 것입니다. 그게 올바른 길일까요? 힌트가 있습니까?
답변
정의에 따라 한 지점의 로컬 링은 해당 지점에 해당하는 최대 이상에서 좌표 링의 위치입니다. 예를 들어 원산지$xy,yz,zx=0$ 에 $\mathbb{A}^3$, $$\mathcal{O}_{X,0}=\big(\mathbb{C}[x,y,z]/(xy,yz,zx)\big)_{(x,y,z)}$$ 그런 다음 현지화가 몫으로 이동한다는 사실을 사용하고 $\mathbb{C}[x,y,z]$ ...에서 $(x,y,z)$ 단순히 서브 링입니다 $$\{f/g\,|\,f,g\in\mathbb{C}[x,y,z],\,g(0,0,0)\not=0\}\subset\mathbb{C}(x,y,z),$$ 우리는 설명을 얻습니다 $$\mathcal{O}_{X,0}=\{f/g\,|\,f,g\in\mathbb{C}[x,y,z]\text{ that kills }xy,yz,zx,\,g(0,0,0)\not=0\}.$$ 비슷하게 $$\mathcal{O}_{Y,0}=\{f/g\,|\,f,g\in\mathbb{C}[x,y]\text{ that kills }xy(x-y),\,g(0,0,0)\not=0\}.$$이 두 고리가 동형이 아님 을 보여주는 것은 일반적으로 어렵습니다. 당신은 항상 양면에서 다른 어떤 종류의 불변을 찾아야합니다. 일반적으로 차원 (벡터 공간)이 다를 수 있으므로 접선 공간은 매우 좋은 공간입니다.
그러나 여기에 훨씬 더 중요한 것이 있으며 직관적으로 설명하려고 노력할 것입니다.
공간 삼중점에 대해 먼저 생각해 봅시다. 각 부분의 기능에서 전체 기능을 어떻게 얻을 수 있습니까? 글쎄, 세 줄이 앉아 있기 때문에$\mathbb{A}^3$, 각 구성 요소에 동의 할 수있는 충분한 함수 (전역 함수)가 있습니다. 세 개의 작은 함수가 원점에서 일치하는 한, 전역 함수를 얻기 위해 다시 합칠 수 있어야합니다.
평면 삼중점은 어떻습니까? 이것은 다릅니다. 세 부분의 세 함수가 전역 함수에 붙기를 바랄 수는 없습니다. 그다지 많지 않기 때문입니다! 세 가지 기능은 제한으로 인해 호환되지 않을 수 있습니다.$\mathbb{A}^2$. 특히 이것은 타원 특이점이라고 불리는 예이며, 원점에서 일치하는 것 외에 추가 조건이 필요합니다.
여기에 적절한 수학은 $\delta$-의 차원으로 정의되는 특이점의 불변 $\pi_*(\mathcal{O}_{\tilde{C}})/\mathcal{O}_C$ 어디 $\pi:\widetilde{C}\to C$정규화입니다. 이것은 여기에있는 두 경우에서 다를 것입니다.
접선 공간을 사용하는 경우 제공하는 두 정의는 동일합니다. 그만큼$(\mathcal{m}/\mathcal{m}^2)^\vee$일반적으로 Zariski 접선 공간이라고합니다. 특히 지역화에$X$, 유일한 최대 이상은 $(x,y,z)$, 및 $m/m^2=(x,y,z)/(x^2,xy,xz,y^2,yz,z^2)$ 3 차원으로 $k$-벡터 공간. 반면에$Y$, $m/m^2=(x,y)/(x^2,y^2,xy)$2 차원입니다. 그래서 그들은 실제로 다릅니다.