공의 경계를 접착하여 저 차원 매니 폴드
닫힌 2- 매니 폴드를 그리는 한 가지 방법은 디스크를 가져 오는 것임을 상기하십시오. $D^2$, 세포 분해를 $\partial D^2$,이 셀룰러 분해에서 정점을 쌍으로 구성하여 쌍이 가장자리를 유지하도록 한 다음 $D$ 이 경계의 몫과 함께.
다른 차원에서도이 작업을 수행 할 수 있습니다. 예를 들어 차원 3에서 모든 닫힌 3- 매니 폴드는 다음과 같은 유사한 절차를 통해 얻을 수 있습니다. $B^3$, 세포 분해를 $\partial B^3$,이 세포 분해의 정점을 쌍으로 구성하여 쌍이 가장자리와면을 보존하도록 한 다음 몫을 살펴 봅니다. $B^3$ 이 페어링으로.
Threlfall과 Seifert는 Poincaré 상 동성 영역에 대해이 작업을 수행했습니다 (예를 들어 Kreines로 인해 다른 설명이 포함 된 여기 참조 ). 사실, 그들은$\partial B^3$정 십이 면체가됩니다. 세포 화가 플라톤 고체 인 방식으로 얻은 모든 3- 다양체의 완전한 (아마도 짧은) 목록이 있습니까?$T^3$, $\mathbb{R}P^3$, 그리고 Seifert-Weber 공간이 떠오르는 다른 예입니다. 나는 Poincaré 상 동성 영역이 아마도 그 목록에있는 유일한 상 동성 영역 일 것이라고 생각합니다. 좀 더 일반적으로 간단한 셀 레이션을 사용하여 이런 방식으로 발생하는 3 가지 매니 폴드 목록을 살펴보고 싶습니다.
이것은 또한 차원 4에서 유사한 방식으로 수행되어 모든 매끄러운 폐쇄 형 4 매니 폴드를 생성 할 수 있습니다. 어딘가에서 수행되는 멋진 사진 / 예가 있습니까? 나는 그런 사진을보고 싶다$S^2 \times S^2, T^4, \mathbb{C}P^2,...$
답변
Platonic 고체의면을 접착하여 얻은이 폐쇄 된 방향성 3 매니 폴드는 Everitt에 의해 분류되었습니다 .
그것은 동일한 2 면체 각도를 가진 규칙적인 다면체를위한 것이고 접착은 기하학적으로 이루어집니다. 그러나 토폴로지 적으로 접착하는 것도 가능하며 그 문제에 대해서는 부분적인 답변 만 있습니다. 4 면체의면을 접착하여 얻은 3 개의 닫힌 방향성 3 매니 폴드가 있습니다. 그들은$S^3$, $L(4,1)$, 및 $L(5,2)$. Jaco와 Rubinstein 의이 논문의 그림 2에서 명백한 접착을 볼 수 있습니다 .
팔면체의면을 접착하여 얻은 17 개의 닫힌 방향성 3 매니 폴드가 있으며, 그 중 13 개는 프라임입니다. Heard, Pervova 및 Petronio에 의해이 백서의 제안 4.2에 나열되어 있습니다.
아마도 큐브에서 얻은 닫힌 방향성 3 다양체가 열거되었지만 참조에 대해 모르겠습니다. 그들은 포함합니다$\mathbb{R}P^3$, 3- 토러스 및 다른 닫힌 방향성 유클리드 3- 매니 폴드 중 적어도 2 개. 정 십이 면체와 정 이십 면체에서 얻은 3 가지 다양체가 많이 있다고 생각하지만, 누구든지 그것들을 모두 열거 한 것 같지는 않습니다.
4- 다양체의 경우 경계에 5 개의 사면체가 있고 이로 인해 패리티가 발생하기 때문에 단일 pentachoron (4-simplex)에서 얻은 4- 다양체가 없다는 점을 제외하고는 다른 사람이 대답하도록 남겨 둘 것입니다. 발행물.