공변 및 불변 염기 도함수

Question

그것을 보여주는 방법

$\overrightarrow{\textbf{e}}_\sigma\cdot\partial_\mu \overrightarrow{\textbf{e}}_\nu = \overrightarrow{\textbf{e}}_\sigma\cdot\partial^\mu \overrightarrow{\textbf{e}^\nu}$

어디 $\overrightarrow{\textbf{e}}_\nu$ 과 $\overrightarrow{\textbf{e}^\nu}$ 어떤 매니 폴드의 기저와 이중 기저 벡터입니까?

어떠한 제안?

감사합니다!

Answer 1

이 주장을 어디서 찾았습니까? 첫 번째 표현${\bf e}_\sigma\cdot \partial_\mu{\bf e}_\nu$코 바레인 트가 아닙니다. 대신 쓴다면${\bf e}_\sigma\cdot \nabla_\mu{\bf e}_\nu$ Christoffel 기호는 다음과 같이 정의되기 때문에 의미가 있습니다. $$ \nabla_\mu {\bf e}_\nu = {\bf e}_\tau {\Gamma^\tau}_{\nu\mu} $$ 기부

$$ {\bf e}_\sigma\cdot \nabla_\mu{\bf e}_\nu= g_{\sigma\alpha} {\Gamma^\alpha}_{\nu\mu} $$ 그리고 $\nabla^\mu = g^{\mu\alpha}\nabla_\alpha $ 그리고 코 벡터에 대한 공변 도함수의 작용으로 $\nabla_\alpha {\bf e}^\nu= - {\bf e}^{\tau}{\Gamma^\nu}_{\tau\mu}$ 우리는 얻는다 $$ {\bf e}_\sigma\cdot \nabla^\mu{\bf e}^\nu = {\bf e}_\sigma (- {\bf e}^{\tau}){\Gamma^\nu}_{\tau\beta}g^{\beta\mu}=-{ \Gamma^\nu}_{\sigma \beta}g^{\beta\mu}. $$ 그래서 그들은 적어도 마이너스 부호만큼 다릅니다.

(계속 편집해서 미안합니다-계속 어리석은 오류를 범합니다)