경로 연결 집합 (공식 증명을 시도하기 전에 연결된 경로 집합을 직관적으로 찾는 방법)
나는 객관적인 석사 시험을 준비하고 있었고 일반 토폴로지는 강의 계획서에 있습니다. 학부 과정의 강사는 가르치는 데 관심이 없었기 때문에 저는 스스로 공부하고 토폴로지에 대한 평균 수준의 이해를 할 수있었습니다.
경로 연결 세트에서 문제가 발생합니다. 정의에 의해 연결된 경로 설정을 증명하는 것은 쉽지 않으며, 설정이 경로가 연결되어 있는지 여부에 대한 질문이 자주 시험에서 질문됩니까? 그러나 올바른 옵션을 표시해야하므로 엄격한 증명이 요구되지 않습니다. 그래서 직감이 있는지 묻습니다. 내가 세트를 받고 경로가 연결되어 있는지 확인해야한다는 것을 고려하면 덜 엄격하고 시간을 절약하는 직관적 인 방법을 사용할 수 있습니다.
그렇다면,이 질문에 그것을 사용하여 저에게 말할 수 있습니까? $\mathbb{R}^2$ : A = {$(x,y)$:${(x+1)}^2+y^2 \leq 1$} $\bigcup $ {$(x,y): y = x sin(1/x), x>0$}. (이것은 해당 시험에서 질문 한 질문 중 하나였습니다).
나는 연습을 위해 다른 질문에 당신의 방법 / 설명 / 직관을 적용 할 것입니다.
어떤 도움을 주셔서 정말 감사합니다!
답변
중요한 단계는 문제의 세트에 대한 명확한 아이디어를 얻는 것입니다. 귀하의 예에서는 쉽게 스케치하고 중앙에있는 단위 디스크로 구성되는 것으로 볼 수 있습니다.$\langle-1,0\rangle$축소 토폴로지의 사인 곡선 이라고 부르는 것과 함께 . 그 후에는 문제의 세트에 전적으로 의존합니다. 진정으로 도움이되는 일반적인 원칙을 생각할 수 없습니다. 그러나이 경우에는 어렵지 않습니다.
원점은 원반과 곡선이 만나는 원점이기 때문에 눈에 띕니다. 디스크와 곡선이 모두 경로로 연결된 경우 전체 세트는 다음과 같아야합니다.$p$ 과 $q$ 세트에서 우리는 얻을 수 있어야합니다 $p$ ...에 $q$ 경로를 연결하여 $p$ 원점에서 원점으로 $q$. (이는 비효율적입니다.$p$ 과 $q$ 원점과 같은쪽에 있지만 여전히 작동합니다.)
두 지점 사이의 선 세그먼트가 완전히 디스크 내에 있기 때문에 디스크의 모든 지점에서 원점까지의 경로가 있다는 것은 직관적으로 분명합니다. (이러한 경로의 방정식을 작성하는 것도 어렵지 않을 것입니다.) 축소 사인 곡선 자체가 오른쪽의 어느 지점에서 원점까지의 경로를 제공하므로 전체 세트가 실제로 경로가 연결됩니다.
여기에 매우 모호한 직관이 있습니다. 연결된다는 것은 공간을 여러 조각으로 나눌 수 없다는 것을 의미합니다. 경로가 연결되어 있다는 것은 실제로 어느 한 지점에서 다른 지점으로 이동할 수 있음을 의미합니다.
토폴로지 학자의 사인 곡선을 사용하면이를 매우 쉽게 볼 수 있습니다. 두 경로로 연결된 구성 요소는 토폴로지를 변경하지 않고 분리 할 수 없지만 하나에서 다른 구성 요소로 지속적으로 이동할 수있는 방법은 없습니다. 마찬가지로, 긴 선의 1 점 압축을 사용하면 끝의 점을 뺄 수 없지만 실제로 긴 선의 다른 곳에서 도달하기에는 "너무 멀리"있습니다.
매니 폴드는 경로가 연결된 경우에만 연결된다는 점을 언급 할 가치가 있습니다. 따라서 구별되는 예는 다소 직관적이지 않을 것입니다.
허락하다 $E = \bigg\{ (x,y)\bigg|y=x\sin\ \frac{1}{x},\ 0<x\leq 1\bigg\}$. 우리는$E'=\{(0,0) \} \bigcup E$ 경로가 연결되어 있습니다. 즉, 연속적인지도를 만들어야합니다. $c : [0,1] \rightarrow (\mathbb{R}^2,|\ |)$ 어디 $|\ |$이다 유클리드 거리 일이$$c(0)=(0,0),\ c(1) =(1,\sin\ 1)$$ 과 $c([0,1])$ 에 $ E'$.
밝히다 $c_n : [0,1] \rightarrow (\mathbb{R}^2,|\ |)$ 성 $c_n(t)=(t,t\sin\ \frac{1}{t}),\ \frac{1}{n}\leq t$, $$ c_n(s) = \frac{s}{\frac{1}{2n}} \bigg(\frac{1}{n},0\bigg) ,\ 0\leq s\leq \frac{1}{2n} $$ 과 $$ c_n(s) = \frac{ \frac{1}{n} -s }{\frac{1}{2n} } \bigg(\frac{1}{n},0\bigg) + \frac{s- \frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}} \bigg(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\sin\ n\bigg),\ \frac{1}{2n}<s<\frac{1}{n} $$
밝히다 $c(0)=(0,0),\ c(t)=(t,t\sin\ \frac{1}{t})$ 그래서 $|c_n(t)-c(t)| \leq \frac{2\sqrt{2}}{n} $ 모든 $t$.
그 후 $c$연속 곡선 의 균일 한 한계 $c_n$. 그건$c$ 연속적입니다.