교대하지 않는 매듭 다이어그램
모든 교차점이 횡단하는 닫힌 자체 교차 곡선으로 시작합니다. 이제 다음과 같이 교차 매듭 다이어그램의 반대와 같은 것을 형성하십시오. 아무 곳에서나 시작하여 커브를 횡단하고 이전에 방문하지 않은 각 교차로에서 위/아래로 이동합니다. 횡단보도를 이전에 방문한 적이 있는 경우 할당된 횡단 지정을 그대로 둡니다.
두 가지 예가 아래에 나와 있습니다. (a) 분명히 unnot이다. (b) 또한 unnot이며 아마도 분명히 그렇지 않을 것입니다.
빨간색 원은 시작점을 나타내고 화살표는 횡단 방향을 나타냅니다.
나는 이 다이어그램이 분명히 unnot를 나타낼 것이라고 예상했지만 명확한 증거를 보지 못했습니다. 그래서:
Q . 그러한 매듭 다이어그램이 항상 매듭이 없음을 나타낸다는 것을 증명(또는 반증)하십시오.
답변
설명하는 다이어그램을 내림차순 다이어그램 이라고 하며 실제로 항상 사소한 매듭이 발생합니다. 증명은 다음의 Lemma 3.2.10을 참조하십시오.http://www.math.ucsd.edu/~justin/Roberts-Knotes-Jan2015.pdf. 이전 답변에는 올바른 아이디어가 있습니다.
이것은 항상 unnot입니다. 고문에게 소개를 받았지만 원래 그의 주장도 아닌 것 같아서 누가 먼저 했는지는 모르겠습니다.
이를 확인하기 위해 매듭이 매듭이 없는 경우 매듭의 브리지 번호는 1이라는 사실을 사용합니다.
매듭의 투영을 그리고 시작점을 선택합니다. 우리는 투영을 횡단할 때 교차점만 만들어서 이 투영을 다이어그램으로 만들 것입니다. 투영을 그림으로 그리면$x,y$ 비행기 어디 $z=0$, 우리는 매듭을 만들 수 있습니다 $\mathbb{R}^3$ 마다 $i$-우리가 레벨에 도달 한 새로운 교차점 $z=i$. 따라서 투영에서 모든 교차점을 만났고 첫 번째 교차점으로 돌아오려고 할 때 3-공간의 매듭은 높은 곳에서 다시 내려와야 합니다.$z$ 값을 다시 $z=0$.
우리가 가지고 있는 것은 마지막 교차점과 첫 번째 교차점 사이의 작은 부분을 제외하고 매듭이 엄격하게 증가하는 높이 함수입니다. 따라서 하나의 최대값과 하나의 최소값이 있으므로 브리지 번호 1 매듭, 매듭이 없습니다.
제가 전문가가 아니라서 얼마나 도움이 되었는지는 모르겠지만, 여기에 맞는 아이디어가 있습니다.
먼저, 도면에 수직인 3차원을 도입하고 "초기" 지점이 "위로" 직선으로 가는 세그먼트의 투영인지 확인합니다. 그런 다음 매듭의 나머지 부분을 배치하여 라인을 따라가는 동안 아래 로만 내려가도록 해야 합니다. 헬터 스켈터(거의 수직 계단이 올라가고 있음)를 상상해 보세요. 그러면 제 말이 무슨 뜻인지 잘 알 수 있을 것입니다. 이제 이것은 약간 물결 모양이지만 "아래로"가는 길에 교차점을 통과한 다음 매듭의 다른 모든 지점으로 확장할 때 각 교차점에 고정 높이를 할당할 수 있다고 생각합니다. (예: "계단" 부분이 높이에서$0$ ...에 $1$, 에 대한 $n$ 교차로, 각 교차로를 두 번 통과할 때 높이를 예약할 수 있습니다. $\frac{k}{2n+1}, k=1,2,\ldots,2n$ 매듭의 "교차" 점에 대해)
나머지는 이 매듭이 매듭이 없는 상태로 변형될 수 있음을 보여주는 간단한 계산이어야 합니다. 원래 매듭의 방정식("슬라이드" 부분)이 다음과 같이 매개변수화되면$(\rho(t)\cos\phi(t),\rho(t)\sin\phi(t),1-t), t\in[0,1]$, 와 $\rho(0)=\rho(1)=0$, 다음 변형 $\lambda\in[0,1]$ 으로 $(\rho(t)\cos\lambda\phi(t),\rho(t)\sin\lambda\phi(t),1-t)$. $\lambda=1$ 원래 매듭을 제공하는 반면 $\lambda=0$ 에 명백한 unnot 제공 $x-z$ 비행기.