균일 한 중력 하에서 수직 원형 운동에서 구심력의 방향
단단한 끈으로 중심에 연결된 점 매스의 수직 원형 운동을 고려하십시오. 여기 균일 한 중력$m\vec{g}$ 행위.
아래 다이어그램에 상황을 설명했습니다.
여기에 벡터를 추가하면 $\vec{T}$ 과 $m\vec{g}$그런 다음 이상한 방향의 구심력을 얻습니다. 중앙을 향해야하지 않습니까?
중력을 방사형 및 접선 구성 요소로 더 분해합니다. 아래를 참조하십시오.
그래서 무슨 일이 $mg \sin \theta$구성 요소? 모션이 원형이되는 것을 방해하지 않습니까?
- 참고 : 순 힘을 중심으로 직접 만들려고하면 의도적으로 장력의 방향을 변경해야합니다. 끈으로 묶인 물체를 고려할 때 매우 이상하게 보입니다. 그래서 만약 우리가 그것을 "자연스러워"(중심을 향한 장력) 유지한다면 우리는 정말로 그 물체가 원 운동을한다고 말할 수 있을까요?
- 또 다른 질문 : 저는이 상황에서 $mg \cos \theta$방사형 힘의 크기를 변경해야하므로 물체의 속도가 변경되어야합니다. 우리는 그것을 속도에 대한 로컬 원형 운동 으로 생각하고 있습니까?$\vec{v}(t_1)$ 특정 시간에 $t=t_1$, 구심력 $\frac{m|\vec{v}(t_1)|^2}{r} \hat{r}$ 매우 작은 시간 간격에만 유효합니다. $[t, t + dt]$?
- 바로 위에있는 두 가지 질문을 요약하면 객체가 맨 위 또는 맨 아래에있을 때 고려할 수 있습니다. 그러면 힘의 구성 요소가 모두 동일한 수직선에 있기 때문에 우리는 힘의 구성 요소에 대해 생각할 필요가 없습니다. 그런 다음 짧은 시간 간격 동안 국부적으로 원형 운동이라고 주장 할 수 있습니까?$[t, t + dt]$?
답변
원 운동에서 항상 그런 것은 아닙니다. $F_\text{net}=mv^2/r$. 이것은 균일 한 원 운동 에만 유효합니다 . 일반적으로$mv^2/r$원의 중심을 가리키는 순 힘 의 구성 요소 와 같습니다 . 고려해야 할 또 다른 구성 요소가 있습니다. 원형 경로에 접하는 구성 요소입니다.
들면 극 좌표 평면 운동 우리가 두 개의 구성 요소에 힘을 해제 순 : 구심 (또는 직경)과 접선 :
$$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=m\left(\ddot r-r\dot\theta^2\right)\,\hat r+m\left(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\right)\,\hat\theta$$
어디 $r$ 원점으로부터의 거리, $\theta$는 극각이고 점은 시간 변화율을 나타냅니다. 원 운동의 경우$r$ 그래서 원 운동의 경우 뉴턴의 제 2 법칙은
$$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=-mr\dot\theta^2\,\hat r+mr\ddot\theta\,\hat\theta$$
따라서 일정한 중력장에서 원점을 중심으로하는 수직 원에서 움직이는 물체의 경우 두 구성 요소를 볼 수 있습니다 (음수는 원점을 향함). $$F_r=-mg\cos\theta-T=-mr\dot\theta^2=-\frac{mv^2}{r}$$ $$F_\theta=mg\sin\theta=mr\ddot\theta$$
$F_r$이 힘 성분은 항상 속도에 수직이기 때문에 속도 의 방향 만 변경합니다.$F_\theta$이 힘 성분은 항상 속도와 평행 / 반 평행이기 때문에 속도 의 크기 만 변경합니다 .
순 힘의 크기는 다음과 같이 주어진다. $$F_\text{net}=\sqrt{F_r^2+F_\theta^2}=mr\sqrt{\dot\theta^4+\ddot\theta^2}$$
감소하는 $mv^2/r$ 균일 한 원 운동 ($\ddot\theta=0$, 및 $\dot\theta=v/r=\text{constant}$).
위의 내용은 우리가 로컬 원형 운동만을 고려하고 있다는 당신의 걱정을 덜어 줄 것입니다. 이것은 단지 원 운동입니다. 불필요한 합병증을 가져올 필요가 없습니다.
$mg\sin\theta$구심력에 기여하지 않고 질량 m에 제공되는 접선 가속도입니다. 그것은 상승 중 질량의 속도를 감소시키고 하강 중 증가를 유발합니다. 이것은 균일 한 원 운동의 경우가 아닙니다. 이러한 복잡성 때문에 우리는 일반적으로이 하위 주제와 관련된 문제를 해결하기 위해 일 에너지 정리를 사용합니다. 또한 구심력은 중력과 장력의 벡터 추가가 아니라 원의 중심으로 향하는 힘의 합입니다. 그래서 구심력은 장력 +$mg\sin\theta$ 그것은 $mv^2/R$.