행렬 만들기 $M(c)=N(c)-L(c)$ 스칼라를 선택하여 양의 정부 호 $c$, 어디 $N(c)$ 양의 반 정확한

Aug 19 2020

허락하다 $P\in\mathbb{R}^{n\times m}$$n>m$$Q\in\mathbb{R}^{n\times k}$$n>k$ 그런 $P^T P = I_m$$Q^T Q = I_k$. 또한$\text{ker}P^T \cap \text{ker}Q^T = \emptyset$. 그런 다음 다음 주장을 증명하십시오.

존재 $c>1$ 그래서 매트릭스 $$M = (I_n - cQQ^T) PP^T (I_n - cQQ^T) - (I_n - cQQ^T)$$양수입니다. (그건,$v^T M v > 0$ 모든 $v\in\mathbb{R}^n$ 그런 $v\neq 0$ 또는 동등하게 모든 고유 값 $M$ 열린 오른쪽 절반 복잡한 평면에 있습니다.)

위의 주장이 사실입니까, 거짓입니까? 사실이라면 어떻게 증명해야합니까?

비고 1. 매트릭스$(I_n - cQQ^T) PP^T (I_n - cQQ^T)$ 모두에게 양의 반 정확한 $c$ 그것은 형태이기 때문에 $H^T H$.

비고 2. 매트릭스$(I_n - cQQ^T)$ 에 대해 양의 반 정확한 $c=1$ 긍정적 인 $0\leq c <1$. 그러나 우리가 고려하기 때문에$c>1$, 그것은 비정규 행렬로 나옵니다. 즉, 양의 고유 값과 음의 고유 값이 모두 있음을 의미합니다.

답변

1 Chrystomath Aug 19 2020 at 17:20

허락하다 $P=w=Q$$\|w\|=1$, $c>1$, 그리고 $v\cdot w=0$, $v\ne0$. 그때$$Mv=(I-cww^T)ww^T(I-cww^T)v-(I-cww^T)v=-v$$ $$\therefore v^TMv<0$$

보다 일반적으로 $v\in\ker P^T\cap\ker Q^T$, 다음 $v^TMv\le0$.


수정 된 질문에 대한 답변 $\ker P^T\cap\ker Q^T=\{0\}$.

허락하다 $m=1$, $n>2$, 허락하다 $P=w$$\|w\|=1$; 허락하다$Q$ 그렇게 될 $Q^Tw=0$. 그런 다음 이전과 같이$Mw=0$.