함수 공간의 합에 대한 규범

Question

공간 합계에 부여되는 규범에 대한 규칙은 무엇입니까 $X+Y$, 공간의 교차점 $X\cap Y$?

저자가 규범을 명시 적으로 작성하지 않고 함수 공간의 합계를 사용하는 논문을 읽고 있으며 더 이상 언급하지 않습니다.

아마도 가장 그럴듯한 규범은 $X\cap Y$ 이다 $\|f\|_X +\|f\|_Y$ 표준으로 $X+Y$ 그런 다음 $\min\{\|f\|_X,\|f\|_Y\}$.

이 질문이 중복 된 경우 사과드립니다.이 경우 삭제 해 드리겠습니다. 수학 stackexchange에서 비슷한 질문을 찾을 수 없습니다.

Answer 1

https://en.wikipedia.org/wiki/Interpolation_space

그것을 가정 $X$ 과 $Y$ Hausdorff 토폴로지 벡터 공간에 지속적으로 포함 $Z$ (그래서 $X\cap Y$ 과 $X + Y$이해가 간다). 일반적으로 사용되는 규범은 다음과 같습니다.$$ {\|x\|}_{X+Y} = \inf\{{\|x_1\|}_X + {\|x_2\|}_Y : x_1 + x_2 = x \} ,$$ $$ {\|x\|}_{X\cap Y} = \max\{{\|x\|}_X,{\|x\|}_Y\} .$$ 표준 $X \cap Y$의미가 있으며 제안한 표준과 동일합니다. 에 대한$X+Y$, 두 표준의 최소값은 불행히도 표준이 아닙니다.

대신 공간을 생각하십시오. $X \oplus Y$ 규범에 따라 $\|(x,y)\| = {\|x\|}_X + {\|y\|}_Y$. 부분 공간을보세요$U = \{(x,x): x \in X\cap Y\}$. 그때$X + Y$ 몫 공간에 동형 $(X \oplus Y) / U$. 이것은$X + Y$ 위의 기준을 갖춘 것은 실제로 Banach 공간입니다.