함수의 역 이미지에 대한 증명

Question

허락하다 $f: X \rightarrow Y$ 함수가되고, $B$ 의 일부가되다 $Y$.

증명 $f(f^{-1}(B)) \subseteq B$, 그리고 $f$추측 적이면 평등이 유지됩니다. 다음과 같은 경우 평등이 유지 될 필요가 없음을 예시로 보여주십시오$f$ 추측이 아닙니다.

솔루션 시도 :

재 작성 $f(f^{-1}(B)) = \{f(t) :t \in f^{-1}(B)\}$ 하위 집합이어야합니다. $B$ 우리가 그것을 안다면 $f(f^{-1}(t) = t$ 내가 생각하기에 bijection에만 적용 되는가?

Answer 1

허락하다 $u\in f(f^-(B))$

그때 $\exists b'\in f^-(B)$ 그런 $f(b')=u$

$ \Rightarrow u=f(b')\in B$

그래서 $f(f^-(B)) \subseteq B$

허락하다 $f$ 용감하고 $b\in B$

그때 $\exists a \in f^-(B)$ 그런 $f(a)=b$

분명히 $b\in f(f^-(B))$ 그래서 $B\subseteq f(f^-(B))$

그러므로 $f(f^-(B))=B$ 언제 $f$ 추측입니다.

허락하다 $X=Y=\mathbb{R}$ 과 $f(x)=x^2$.

그때 $f$ 추측이 아닙니다.

허락하다 $B=[-1,\infty)$

그때 $f^-(B)=\mathbb{R}$ 과 $f(f^-(B))=[0,\infty) \subsetneq B$

일반적으로 $f:X\to Y$ 그러면 추측 적이 지 않다 $\exists y\in Y$ 사전 이미지가 없도록 $X$

취하다 $B=f(X) \cup \{y\}$

그러면 조건이 충족됩니다.