한 쌍의 (9 차원 및 15 차원) 볼록 집합에 대한 John 타원체는 무엇입니까? $4 \times 4$ 양의 정의 행렬?
9 차원 및 15 차원 볼록 세트에 대한 John 타원체 ( JohnEllipsoid ) 는 무엇입니까 ($A,B$) 의 $4 \times 4$양의 정의, trace-1 대칭 (Hermitian) 행렬 (양자 정보 용어로 "two-rebit"및 "two-qubit" "밀도 행렬"[ DensityMatrices ]의 집합 ))? (이 몸은 기본 정리 JohnTheorem 의 한 측면의 의미에서 "중심 대칭" 입니까?)
또한이 타원체와 중요한 볼록 부분 집합 간의 관계 (교차,…)는 무엇입니까? $A$ 과 $B$ 부분 전치의 (완전히 양수가 아닌) 연산 하에서 양의 정의로 유지되는 행렬로 구성됩니다. $2 \times 2$ 의 블록 $4 \times 4$행렬이 제자리에 바뀝니 까? ([ MasterLovasAndai ]이 "PPT"[양의 부분 전치 / 분리 가능 / 비 얽힘] 볼록 부분 집합이 차지하는 유클리드 부피의 비율은$\frac{29}{64}$ ...에 대한 $A$ 과 $\frac{8}{33}$ ...에 대한 $B$.)
또한,이 타원체와 "insphere"(최대 볼에 새겨진 $A$ 과 $B$[ SBZ ])? insphere는 PPT 세트 내에 있습니다. John 타원체와 insphere가 단순히 일치 할 수 있습니까?
또한 이러한 PPT 세트에 대한 John 타원체 자체는 무엇일까요?
다음 인용문 p 에서 언급되는 "조향 타원체"의 흥미로운 개념이 있습니다. 28 [SteeringEllipsoid] :
2- 큐 비트 상태의 경우 정규화 된 조건부 상태 앨리스는 Bob의 시스템을 조종하여 Bob의 Bloch 구 내부에 타원체를 형성하도록 조종 할 수 있습니다 (Verstraete, 2002; Shi et al., 2011, 2012; Jevtic et al., 2014) ).
그러나 "Bloch sphere"는 3 차원이므로 2 큐 비트 상태의 스티어링 타원체는 위에서 요청한 (15 차원) John 타원체가 될 수 없습니다.
물론 볼록한 집합에 대해 John 타원체가 무엇인지 질문 할 수 있습니다. $m \times m$ 대칭 및 $n \times n$ Hermitian (양의 정의, 추적 1) 밀도 행렬 ($m,n \geq 2$). 에 대한$m,n=2$, 대답은 사소한 것으로 보입니다. 즉 볼록 세트 자체입니다. 에 대한$m,n =3$, 그것은 아마도 사소하지 않은 것 같습니다. 그러나 다음의 복합 값에 대해서만$m,n$, PPT 상태의 볼록 부분 집합에 대한 보조 질문이 있습니까?
위의 첫 번째 하이퍼 링크에 의해 제공된 Wikipedia 기사는
"내부 Löwner-John 타원체로 새겨진 타원체의 최대 부피"를 설명합니다 .
[ DensityMatrices ] : Slater- 일반화 된 2- 큐 비트 힐베르트-슈미트 분리 가능성 확률에 대한 간결한 공식
[ JohnTheorem ] : Howard-John 타원 정리
[ MasterLovasAndai ] : Slater-Master Lovas–Andai 및 동등한 공식이$\frac8{33}$ 2- 큐 비트 힐베르트-슈미트 분리 가능성 및 동반 합리적 값 추측
[ SBZ ] : Szarek, Bengtsson 및 Życzkowski-양의 부분 전치가있는 상태의 신체 구조
[ SteeringEllipsoid ] : Uola, Costa, Nguyen 및 Gühne-양자 스티어링
답변
명백하게 관련된 두 가지 공식으로 시작하겠습니다. 첫 번째는$k$-차원 타원 [Thm. 2.1, EllipsoidVolume ], \ begin {equation} vol_k = \ frac {2 \ pi ^ {k / 2} \ prod _ {i = 1} ^ k a_i} {k \ Gamma \ left (\ frac {k} {2 } \ right)}, \ end {equation} 여기서$a_i$의 길이는 반 축의 길이입니다.
다른 하나는 세트의 볼륨입니다. $m \times m$트레이스 1 [(7.7), RebitVolume ] 의 양의 정의 대칭 행렬 . \ begin {equation} Vol_m = \ frac {2 ^ {\ frac {1} {4} (m-1) m + m} \ sqrt {m} \ pi ^ {\ frac {1} {4} (m- 1) m- \ frac {1} {2}} \ Gamma \ left (\ frac {m + 1} {2} \ right) \ prod _ {l = 1} ^ m \ Gamma \ left (\ frac {l } {2} +1 \ 오른쪽)} {m! \ Gamma \ left (\ frac {1} {2} m (m + 1) \ right)}. \ end {등식}
( "two-rebit") 케이스의 경우 $m=4$ ($k=9$) 당장 관심이있는 경우 공식은 \ begin {equation} \ frac {\ pi ^ 4} {60480} \ approx 0.0016106을 산출합니다. \ end {등식}
따라서 우리에게 특히 관심이있는 질문은 표시된 9 차원 세트의 볼록 세트에 대해 내부 Lowner-John 타원체가 차지하는 부피의 비율입니다. $4 \times 4$(밀도) 행렬. 또한, 그 크기는$\frac{29}{64}$, Lovas와 Andai가 분리 가능성 (동등하게 PPT)에 대해 설정 한 비율은 2-rebit 상태의 확률입니까? 또한 insphere의 부피와 비교하여 (즉시 현재 계산이 없습니다).
따라서 이러한 질문에 접근하기 위해 Ginibre 앙상블 방법을 사용하여 무작위로 생성 된 "2-rebit 밀도 행렬"쌍 (초, 4, RandomDensityMatrices )을 생성했습니다. 그런 다음 그 차이의 절대 값을 2로 나눈 다음 결과 행렬의 9 개의 독립 항목 (3 개의 대각선 항목 및 6 개의 위쪽 비 대각선 항목)을 반축으로 취했습니다.
이 시점에서 우리는 거의 1,600 만 개의 이러한 쌍을 생성했습니다. 쌍$4 \times 4$ 관련된 최대 타원체 부피를 찾은 밀도 행렬, $6.98613 \cdot 10^{-8}$ (만 0.0000432642 중 $\frac{\pi ^4}{60480} \approx 0.0016106$), 지금까지 \ begin {equation} \ left (\ begin {array} {cccc} 0.424772 & -0.147161 & -0.3345 & -0.177458 \\ -0.147161 & 0.164668 & 0.146384 & 0.0925659 \\ -0.3345 & 0.146384 & 0.29387 & 0.157489 \\ -0.177458 & 0.0925659 & 0.157489 & 0.11669 \\ \ end {array} \ right) \ end {equation} 및 \ begin {equation} \ left (\ begin {array} {cccc} 0.135144 & 0.189631 & -0.03164 & 0.145386 \\ 0.189631 & 0.449171 & -0.180868 & 0.347037 \\ -0.03164 & -0.180868 & 0.126351 & -0.128246 \\ 0.145386 & 0.347037 & -0.128246 & 0.289334 \\ \ end {array} \ right). \ end {equation} 앞의 3 개의 대각선 항목과 상위 6 개의 비 대각선 항목의이 두 행렬에 대한 절대 차이의 절반은 위에 주어진 첫 번째 공식에서 9 개의 반축으로 사용됩니다.
또한 볼륨을 계산하기위한 대안 (특정 정규화 요소에 상응하는) 접근 방식이 있음을 지적하겠습니다. $m \times m$밀도 행렬 ( AndaiVolume ). 그러나 Andai는$2 \times 2$ Hermitian 사례이며 위에 제시된 Zyczkowski와 Sommers의 부피 공식에 대한 명시적인 대안을 제공하지 않았으므로이 시점에서 어떤 형태를 취할지 확신 할 수 없습니다.