항상 분할이 가능합니까? $[a,b]\times[c,d]$ 분리 된 블록으로 $D_{ij}$ 성 $\left.f\right|_{D_{ij}}$ bijective입니까?
주어진 기능을 고려하십시오 $f:[a,b]\times[c,d]\to[0,1]^{2}$ 그런 $0\leq a < b \leq 1$, $0 \leq c < d \leq 1$.
또한 우리는 $f\in C^{1}([a,b]\times[c,d],[0,1]^{2})$ 그리고 그것은 추측입니다.
내 질문
항상 분할이 가능합니까? $[a,b]\times[c,d]$ 분리 된 블록으로 $D_{ij} = [x_{i},x_{i+1}]\times[y_{j},y_{j+1}]$, 어디 $1\leq i \leq m$ 과 $1\leq j\leq n$, 그런 $\left.f\right|_{D_{ij}}$ bijective입니까?
그렇다면 최소 블록 수가 있습니까? $D_{ij}$ 이 제한을 충족 하는가?
여기서 나는 기능을 가정합니다. $f$ 어디에서나 일정하지 않고 $|f^{-1}(\{(x,y)\})| < N$ 모든 $(x,y)\in[0,1]^{2}$.
그런 질문은 숙제가 아닙니다. 내 개인 조사에서 나왔습니다.
이 질문이이 사이트에 적합하지 않은 경우 알려주십시오.
편집하다
이에 대한 후속 질문은 여기에서 다룹니다 .
답변
대답은 '아니오.
예,하자 $[a,b]=[c,d]=[0,1]$ 과 $$f(x,y):=(g(x),y)$$ ...에 대한 $(x,y)\in[0,1]^2$, 어디 $$g(x):=c\,h(x),$$ $$h(x):=x^p (1+a \sin\ln x)$$ ...에 대한 $x\in(0,1]$ 와 $h(0):=0$, $$p\in(1,\infty),\quad1>a>\frac p{\sqrt{p^2+1}},\tag{0}$$ 과 $c:=1/\max_{x\in[0,1]}h(x)$. 그때$f$ 추측이다 $C^1$ 지도에서 $[0,1]^2$ ...에 $[0,1]^2$.
또한 $(x,y)\in[0,1]^2$, 모두 $u\in(0,1]$, 및 $v\in[0,1]$ 평등 $f(x,y)=(u,v)$ 암시 $y=v$ 과 $$\Big(\frac{u/c}{1+a}\Big)^{1/p}\le x\le\Big(\frac{u/c}{1-a}\Big)^{1/p}$$ 따라서 $$\frac{\ln(u/c)}p-\frac{\ln(1+a)}p\le \ln x\le\frac{\ln(u/c)}p-\frac{\ln(1-a)}p,\tag{1}$$ 그래서 $\ln x$ 기껏해야 다름 $\frac{\ln(1+a)}p-\frac{\ln(1-a)}p=O(1)$ 균일하게 $u\in(0,1]$.
또한, $$g'(x)=cx^{p-1} [p+a (p \sin\ln x+\cos\ln x)] \\ =cx^{p-1} [p+a\sqrt{p^2+1}\,\sin(t+\ln x)]\tag{2}$$ 진짜로 $t$ (에 따라 $p$ 과 $a$) 그리고 다 $x\in(0,1]$.
따라서 조건 (1)이 주어지면 $g'(x)$ 기호를 더 이상 변경할 수 없습니다 $n$ 시간, 일부 자연 $n$ 에 따라서 만 $p$ 과 $a$. 따라서,$|f^{-1}(u,v)|\le n+1$ 어떠한 것도 $(u,v)\in(0,1]\times[0,1]$. 또한,$f^{-1}(0,v)=\{(0,v)\}$ 어떠한 것도 $v\in[0,1]$. 그래서,$|f^{-1}(u,v)|\le n+1$ 어떠한 것도 $(u,v)\in[0,1]\times[0,1]$.
반면에 (2)와 (0)에서 $g'$ 오른쪽 이웃에서 무한히 여러 번 기호를 변경합니다. $0$. 따라서 제한$f$ 정점이있는 모든 직사각형에 $(0,0)$ bijective가 아닙니다.
아래는 그래프입니다. $\{(e^{-1/t},\ln h(e^{-1/t}))\colon0<t<1\}$ (왼쪽) 및 $\{(e^{-1/t},\ln h(e^{-1/t}))\colon0<t<0.1\}$ (오른쪽) $p=3/2$ 과 $a=9/10$. 이러한 그래프는 함수 그래프의 비선형 적으로 크기가 조정됩니다 (더 나은 인식을 위해 수평 및 수직으로) 버전$h$ 의 오른쪽 이웃에 $0$.
