한계 평가 $\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $

Aug 17 2020

스퀴즈 / 샌드위치 정리를 사용하여이 시퀀스 제한을 어떻게 평가합니까? $$\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $$

어디서부터 시작해야할지 모르겠습니다. 나는 사실을 사용하여 시도했습니다$\lim_{n \to \infty} \left(3^n\right)^{\frac1n} = 3$ (정답입니다)하지만 거기에서 어디로 가야할지 모르겠습니다.

감사!

답변

7 user Aug 17 2020 at 20:11

우리는

$$3=(3^n)^{1/n}\le (3^n+1)^{1/n}\le (3^n+3^n)^{1/n}=3\cdot2^\frac1n$$

그런 다음 압착 정리로 결론을 내립니다.

2 sera Aug 17 2020 at 20:12

당신이 사용할 수있는 $3=(3^n)^{1/n} \leq(3^n + 1)^{1/n} \leq (3^n+3^n)^{1/n}=2^{1/n}\cdot 3$

2 Alex Aug 17 2020 at 20:17

로그 사용 : 표현식을 다음과 같이 다시 작성하십시오. $$ e^{\frac{1}{n}(\log 3^n + \log (1+\frac{1}{3^n})} $$ 첫 번째 학기는 $3$. 두 번째는 쉬운 경계가 있습니다.$$ 0<\log (1+\frac{1}{3^n})<\log 2 $$ 따라서, $$ 1<e^{\frac{1}{n}\log (1+\frac{1}{3^n})}<e^{\frac{\log 2}{n}} \to_n 1 $$

2 Masacroso Aug 17 2020 at 20:22

약간 다른 방법은 $3^n$ 밖으로 $(3^n+1)^{1/n}$, 그건 $$ (3^n+1)^{1/n}=3(1+3^{-n})^{1/n} $$ 이제 $1\leqslant 1+3^{-n}\leqslant 2$ 모든 $n\in \mathbb N $따라서 우리가 도달하는 불평등의 한계를 $$ 1\leqslant \lim_{n\to\infty}(1+3^{-n})^{1/n}\leqslant \lim_{n\to\infty}2^{1/n}=1 $$ 그래서 $$ \lim_{n\to\infty}(3^n+1)^{1/n}=\lim_{n\to\infty}3(1+3^{-n})^{1/n}=3 $$

1 AmirhosseinDolatkhah Aug 17 2020 at 20:13

중히 여기다 $y = (3^n + 1)^\frac{1}{n}$ 이제 양변의 로그에 영향을 미칩니다.$$\ln{y} = \frac{\ln{(3^n + 1)}}{n}$$ 분명히 만약 $n$ 무한대로 가면 로그 내에서 1을 생략하면 쉽게 얻을 수 있습니다. $\ln{y} = \ln 3$ 언제 $n$무한대로 이동합니다. 그래서 대답은 :$$y = 3$$

1 BastienTourand Aug 17 2020 at 20:07

어디 $n$ 충분히 크다 $3^n$ 훨씬 큽니다 $1$, 무시할 수 있습니다 (우리는 $100000000000000000000$$100000000000000000001$ "거의"동일).

그래서 $3^n+1 \sim_{n \to \infty} 3^n$ 사실에 의해 $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n+1}{3^n}=1$ 빠르고 나머지는 쉽게 할 수 있습니다.

1 FelixMarin Aug 17 2020 at 21:38

$$ \displaystyle\left(3^{n} + 1\right)^{1/n} = 3\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{1/n} = 3\left[\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{3^{\large n}}\right]^{1/\left(3^{\large n}n\right)} \,\,\,\stackrel{\mathrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\to}\,\,\, \bbox[#ffd,10px,border:1px groove navy]{\large 3} $$