Herstein 운동 : 유한 그룹 G의 하위 그룹 $|G| \nmid i_G(H)!$ 중요하지 않은 정규 하위 그룹을 포함해야합니다.

Question

이것은 Herstein의 Abstract Algebra (1996)의 'Harder'문제 40입니다. 나는 이것을하는 방법을 알 수 없다. 매우 유사한 게시물을 찾았지만 . 다음은 질문에 대한 축 어적 진술입니다.

만약 $G$ 유한 그룹입니다. $H$ 하위 그룹 $G$ 그런 $n \nmid i_G(H)!$, 어디 $n=|G|$, 정상 하위 그룹이 있음을 증명 $N \neq (e)$ 의 $G$ 에 포함 $H$.

추신 : 나는 약 일주일 동안 이것에 붙어 있었고 지금은 수건을 던지고 있습니다. 그래서 나는 정말로 해결책을 고맙게 생각하지만이 문제를 죽일 수 있도록 대신 힌트를 주길 겸손히 간청합니다 ( 솔직히 저는 희망을 포기했습니다.

Answer 1

한다고 가정 $H$ 색인 있음 $n$ 에 $G$. (오른쪽, 말) 코셋에 대한 행동$H$ 동형을 유도 $\phi:G\to S_n$이지도의, 커널의 핵심 의$H$ 에 $G$는 다음의 가장 큰 정규 부분 군입니다. $G$ 에 포함 $H$. 따라서 핵심은 하위 그룹이$N$ 필요한 것이 존재하므로 $N$이 핵심을 나타냅니다. 이후$G/N$ 하위 그룹에 동형 $S_n$, $|G/N|\mid n!$. 그러나$|G|\nmid n!$, 따라서 $|N|>1$.