흥미로운 속성을 가진 함수의 예
표시 $L^1(0,1)$ 간격에서 Lebesgue 적분 함수의 공간 $(0,1)$.
$\textbf{Question:}$ 기능이 있습니까? $F:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$ 다음과 같이 :
- $\frac{F(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
- $\frac{F'(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
- $\frac{F(x)}{x^2}\notin L^1(0,1)$?
대답은 긍정적이고 요점은 구성하는 것입니다. $F$ 그런 $F$ 과 $F'$제로 근처에서 적절하게 작동합니다. 아주 섬세 해 보입니다. 나는 그것을 확인했다$F$ 다항식 또는 거듭 제곱 함수가 될 수 없습니다. $F'\simeq \frac{F}x$, 따라서 조건 2와 3은 동시에 유지 될 수 없습니다).
힌트를 주시면 감사하겠습니다!
답변
그러한 기능은 없습니다. 가장 먼저,$|F(a)-F(b)|\leqslant \int_a^b |F'(x)|dx\to 0$ 언제 $a,b\to 0$. 그래서$F$ 한계가있다 $c$ 점 0에서. $c\ne 0$, 1) 실패합니다. 그래서$\lim_{x\to 0} F(x)=0$.
다음, $$|F(a)|\leqslant \int_{0}^a|F'(x)|dx\leqslant a\int_{0}^a\frac{|F'(x)|}x dx=o(a),\quad\text{when}\quad a\to 0.\quad (1)$$ 지금 $$ \int_a^b \frac{F(x)}{x^2}dx=\frac{F(a)}a-\frac{F(b)}b+\int_a^b \frac{F'(x)}xdx. \quad(2) $$ 두 가지 경우를 고려하십시오.
$F$ 0 근처에 고정 된 부호가 있습니다. 그런 다음 $a,b$ 0에 가까워지면 (1)과 (2)에서 결론을 내립니다. $\int \frac{F(x)}{x^2}dx$ 0에서 수렴하지만 이것은 수렴과 같습니다. $\int \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ 우리가 필요합니다.
$F$ 0 근처에 무한히 많은 0이 있습니다. 그런 다음 $(a_k,b_k)$ 오픈 세트의 포함 최대 간격 $\{x:F(x)\ne 0\}$ 및 신청 (2) $a=a_k,b=b_k$ 우리는 바운드 $\int_0^c \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ 통하다 $\int_0^c \frac{|F'(x)|}{x}dx$. 여기$c=b_1$예를 들어.