확인 $ \intop_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d}x$ 모이다
나는 결정해야 $\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d}x$ 수렴 / 분할.
내 직감은 적분이 수렴한다는 것입니다. $\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x\right)\mathrm{d}x$ Dirichlet의 검정에서 수렴하므로 $ \frac{1}{x} $ 많은 차이가 있어서는 안됩니다. $ x\to\infty $.
증명하는 올바른 방법은 $\displaystyle \int_{1}^{u}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x $ 어떤 것에 묶여있다 $ u $, 그런 다음 Dirichlet의 테스트를 사용할 수 있습니다. 나는 그것을 증명할 수 없었습니다.
또한 적분이라는 증거에 대해 어떻게 생각하는지 듣고 싶습니다. $ \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x $ 모이다.
다음과 같은 방식으로 한계 비교 테스트를 사용했습니다.
$ \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\frac{|\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)|}{x^{0.5}}}{\frac{1}{x^{0.8}}}=0 $
이후 $ 0.8 <1 $ 적분 $ \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{0.8}}\mathrm{d}x $ 수렴, 따라서 적분 $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{0.5}} \mathrm{d}x$ 절대적으로 수렴합니다.
도움을 주시면 감사하겠습니다. 미리 감사드립니다
답변
각도 추가 공식으로 시작하십시오.
$$\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin\left(x+{1\over x}\right)\,dx=\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin x\cos(1/x)\,dx+\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\cos x\sin(1/x)\,dx$$
두 번째 부적절한 적분은 수렴합니다. $\sin(1/x)\lt1/x$ (에 대한 $x\gt0$) 및 $\int_1^\infty{1\over x^{3/2}}\,dx$수렴. 따라서 첫 번째 부적절한 적분도 수렴한다는 것을 보여줍니다.
이렇게하려면 다음과 함께 부품 별 통합을 사용하십시오. $u=\cos(1/x)/\sqrt x$ 과 $dv=\sin x\,dx$, 그래서 $du=(\sin(1/x)/x^{5/2}-\cos(1/x)/(2x^{3/2}))dx$ 과 $v=-\cos x$:
$$\begin{align} \int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin x\cos(1/x)\,dx &={-\cos(1/x)\cos x\over\sqrt x}\Big|_1^\infty+\int_1^\infty{\sin(1/x)\cos x\over x^{5/2}}\,dx+\int_1^\infty{\cos(1/x)\cos x\over2x^{3/2}}\,dx\\ &=\cos^21+\int_1^\infty{\sin(1/x)\cos x\over x^{5/2}}\,dx+\int_1^\infty{\cos(1/x)\cos x\over2x^{3/2}}\,dx \end{align}$$
마지막 두 개의 부적절한 적분이 다시 수렴됩니다.
부적절한 적분에 관해서는 $0$ ...에 $1$, OP의 증명은 괜찮지 만 필요한 것보다 더 복잡합니다. 주목하는 것으로 충분합니다${|\sin(x+1/x)|\over\sqrt x}\le{1\over\sqrt x}$.
당신은 그냥 $x+\frac{1}{x}=z$ 그리고 얻다 $$ \int_{1}^{+\infty}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)\frac{dx}{\sqrt{x}}=\int_{2}^{+\infty}\sin(z)\underbrace{\frac{\sqrt{z+\sqrt{z^2-4}}}{\sqrt{2}\sqrt{z^2-4}}}_{g(z)}\,dz $$ 어디 $g(z)$ 처럼 행동 $\frac{C}{\sqrt{z-2}}$ 의 오른쪽 이웃에 $z=2$ 그리고 그것은 감소하고 있습니다 $z>2$, 이후 $$ g(2\cosh t) = \frac{e^{t/2}}{e^t-e^{-t}}=\sum_{n\geq 0}\exp\left(-\left(2n+\frac{1}{2}\right)t\right)$$ 분명히 감소하고 있습니다 $\mathbb{R}^+$. 여기에서도 Dirichlet의 기본형을 적용 할 수 있습니다.