이 다항식을 표시하는 방법은 $\mathbb{Q}$?

Question

질문 : 그것을 보여주십시오.$\sqrt{3}+\sqrt[3]{7}$ 대수적이다 $\mathbb{Q}$ 정도 $6$.

저는이 정의를 사용할 수 있습니다. $a \in K$ 학위의 대수 $n$ 위에 $F$ 최소 다항식이 $a$ 위에 $F$ 학위가있다 $n$즉, $\deg(Irr_{F}(a))(x)=n$.

나의 시도 : 정의$\alpha:=\sqrt{3}+\sqrt[3]{7}$ 우리는 정치인을 얻을 것입니다 $p(x)$ 그런 $p(\alpha)=0$. 시작하자:\begin{align*} \alpha = \sqrt{3}+\sqrt[3]{7} &\implies \alpha -\sqrt{3}=\sqrt[3]{7}\\ &\implies(\alpha -\sqrt{3})^3=7\\ &\implies\alpha^3-3\alpha^2 \sqrt{3}+9\alpha -3\sqrt{3}=7\\ &\implies (\alpha^3 +9\alpha -7)^2=3(3\alpha^2+3)^2\\ &\implies \alpha^6+9\alpha^4-14\alpha^3+27\alpha^2-126\alpha+22=0 \end{align*}

따라서, $\alpha$ 의 뿌리입니다 $p(x)= x^6+9x^4-14x^3+27x^2-126x+22$, 어디 $p(x)\in \mathbb{Q}[x]$ 모닉 다항식입니다.

내 의심 : 이제$p(x)$ 돌이킬 수 없다 $\mathbb{Q}$이 연습을 마치기 위해. 그러나 여기에 내 문제가 있습니다.

1. 비 환원성을 나타내는 데 적합한 p 프라임이 없으면 작동하지 않기 때문에 Eiseinstein 기준을 사용할 수 없습니다.

2. De Moivre 공식을 사용하여 모든 뿌리를 보여 주면 충분하지 않습니다. 이 결과가 나오면 : 다항식이 축소 불가능한 경우$F$ 이 정치의 뿌리는 없습니다. $F$. 그러나 결과적으로 우리는 반대의 의미를 갖지 않습니다! 그래서 De Moivre 공식을 사용하는 것만으로는 충분하지 않습니다.

누군가가이 부분을 도와 줄까요?

Answer 1

Jyrki Lahtonen 제안에 따라 여기에 설명 된 접근 방식을 사용할 것 입니다.

먼저 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 포함 $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$:

그것을주의해라: $\alpha = \sqrt{3} + \sqrt[3]{7} \implies \alpha - \sqrt{3} = \sqrt[3]{7} \implies (\alpha - \sqrt{3})^{3} = (\sqrt[3]{7})^{3} \implies \alpha^{3} - 3\alpha^{2}\sqrt{3} + 9\alpha - 3\sqrt[3]{3} = 7 \implies \alpha^3 + 9\alpha - 7 = 3\alpha^2 \sqrt{3} - 3\sqrt{3} \implies \alpha^3 + 9\alpha - 7 = \sqrt{3} (3\alpha^2 - 3).$ 따라서 $$\sqrt{3} = \frac{\alpha^3 + 9\alpha - 7}{(3\alpha^2 - 3)} (*)$$ 따라서 우리는 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 포함 $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$.

그런 다음 증명합니다 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 포함 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{7})$:

그것을주의해라 $\sqrt[3]{7} = \alpha - \sqrt{3}$ 그리고 그 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 둘 다 포함 $\alpha$ 과 $\sqrt{3}$ (방정식 ($*$)). 그러므로,$\mathbb{Q}(\alpha)$ 포함 $\sqrt[3]{7}$ 따라서 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 포함 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{7})$.

이후 $[\mathbb{Q}(\sqrt{3}) : \mathbb{Q}] = 2$ 과 $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{7}): \mathbb{Q}] = 3$, 우리는 $[\mathbb{Q}(\alpha): \mathbb{Q}] $ 6의 배수입니다.

그것을주의해라:

$[\mathbb{Q}(\alpha): \mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\alpha): \mathbb{Q}(\sqrt{3})] [\mathbb{Q}(\sqrt{3}) : \mathbb{Q}] = 2 [\mathbb{Q}(\alpha): \mathbb{Q}(\sqrt{3})] $ $[\mathbb{Q}(\alpha): \mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\alpha): \mathbb{Q}(\sqrt[3]{7})] [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{7}) : \mathbb{Q}] = 3 [\mathbb{Q}(\alpha): \mathbb{Q}(\sqrt[3]{7})]$

따라서, $[\mathbb{Q}(\alpha): \mathbb{Q}] $ 2와 3의 배수 (즉, 6의 배수)입니다.

모닉 다항식을 찾았을 때 $p$ 학위 6으로 결론을 내립니다.