이 시스템이 z 도메인 전달 함수를 사용하여 적절하게 표현되지 않는 이유는 무엇입니까?
이 질문과 대답 에 따르면 다음 시스템은 z 변환 전달 함수로 적절하게 캡처 할 수 없습니다.
$$y[n] = y[n-1] + F_{\psi}(y[n-1)) + F_{\phi}(x[n-1])$$ 어디 $F_{\alpha}(z)$ 다음 형식의 1 차 고역 통과 필터입니다. $$F_{\alpha}(z) = \frac{\alpha (1 -z^{-1})}{1-\alpha z^{-1}} $$
대답은
문제는 저와 다른 모든 사람들에 의해 바로 숨겨지는 극점 제로 취소가 있다는 것입니다. yk의 미분이 방정식의 주제 인 (1)의 왼쪽에서 분명합니다.
따라서 최종 값 정리를 사용하여 설명한대로이 문제를 해결할 수없는 이유는 전달 함수를 사용하여 시스템을 적절하게 표현할 수 없기 때문입니다. 전달 함수 표기법 내에서 이것을 저장하는 방법이있을 수 있지만 첫 번째 단계에서 시도했지만 실패 했으므로 상태 공간에서 수행 할 것입니다.
이 시스템을 대체 방법을 사용하여 분석해야하는 z- 변환 (또는 기타)의 제한 사항은 무엇입니까? 일반적으로 시스템의 어떤 기능이 동일한 어려움을 제기하며 그 이유는 무엇입니까?
답변
전달 함수는 LTI 시스템을 설명합니다. 따라서 주어진 시스템 은 전달 함수로 설명 할 수 있습니다. 그러나 0이 아닌 초기 조건이있는 경우 입력 신호에 의존하지 않고 초기 조건에만 의존하는 출력의 기여가 있기 때문에 시스템은 더 이상 선형이 아닙니다. 결과적으로 전달 함수는 0이 아닌 초기 조건이있는 경우 시스템의 응답을 계산하는 데 직접 사용할 수 없습니다.
그럼에도 불구하고 (일방적) $\mathcal{Z}$-transform은 차이 방정식을 변환하고 사용하여 0이 아닌 초기 조건에서도 시스템의 응답을 계산하는 데 사용할 수 있습니다.
$$\mathcal{Z}\big\{ y[n-k]\big\}=z^{-k}Y(z)+\sum_{m=0}^{k-1}z^{-m}y[m-k],\qquad k>0\tag{1}$$
예 : 요점을 설명하기 위해 원래 문제에서와 유사한 극점 영점 취소를 사용하는 간단한 예를 사용하겠습니다. 에 의해 설명 된 시스템을 고려하십시오.
$$y[n]-y[n-1]=\alpha \big(x[n]-x[n-1]\big)\tag{2}$$
해당 전달 함수는 다음과 같습니다.
$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\alpha(1-z^{-1})}{1-z^{-1}}=\alpha\tag{3}$$
분명히, $y[n]=\alpha x[n]$ 의 해결책입니다 $(2)$. 또한 시스템이 선형이어야하는 경우 유일한 솔루션입니다. 그러나 형식의 해가 무한히 많기 때문에 비선형 시스템을 허용하는 경우 유일한 해결책은 아닙니다.
$$y[n]=\alpha x[n]+c\tag{4}$$
임의의 상수로 $c$. 이러한 솔루션은 전달 함수에서 유추 할 수 없습니다.$(3)$.
이제 사용합시다 $\mathcal{Z}$-해결하기 위해 변형 $(2)$ 초기 조건 $y[-1]\neq 0$ 과 $x[-1]=0$. 변형$(2)$ 사용 $(1)$ 준다
$$Y(z)(1-z^{-1})-y[-1]=\alpha X(z)(1-z^{-1})$$
결과는 다음과 같습니다. $\mathcal{Z}$-출력 변환 :
$$Y(z)=\alpha X(z)+\frac{y[-1]}{1-z^{-1}}\tag{5}$$
시간 영역에서 이것은
$$y[n]=\alpha x[n]+y[-1]u[n]\tag{6}$$
어디 $u[n]$단위 단계입니다. 식.$(6)$ 단지 인과 적 버전입니다 $(4)$.
이것은 $\mathcal{Z}$-transform은 전달 함수만으로는 문제 해결에 부적절하더라도 0이 아닌 초기 조건으로 시스템의 응답을 계산하는 데 사용할 수 있습니다.