이것을 Markov 체인으로 모델링하는 방법은 무엇입니까?

Question

다른 속도로 분해 두 기계가있다, μ$_A$기계 A 및 µ 용$_B$기계 B의 경우. 고장이 나면 두 명의 수리공 중 한 명이 기계를 수리 할 수 ​​있습니다. 두 수리공 X와 Y가 서로 다른 능력을 가지고 있고 매개 변수 λ를 사용 하여 지수 무작위 시간으로 수리한다고 가정합니다.$_X$및 λ$_Y$, 각각. (그러나 속도는 수리하는 기계에 의존하지 않습니다.)

이것을 Markov 체인으로 모델링하는 방법은 무엇입니까?.

Answer 1

한 대가 고장 났을 때 두 기계가 모두 작동한다면 수리공이 기계를 고칠 확률이 같다고 가정합니다. 상태 공간은 $$ S=\{(1,1), (0_X,1), (0_Y,1), (1,0_X), (1,0_Y), (0_X,0_Y), (0_Y,0_X) \}. $$ 전환율은 다음과 같습니다. $$ q_{(i,j),(i',j')} = \begin{cases} \frac{\mu_A}2,& (i,j)=(1,1)\text{ and } (i',j') \in \{(0_X,1),(0_Y,1)\}\\ \frac{\mu_B}2,& (i,j)=(1,1)\text{ and } (i',j') \in \{(1,0_X),(1,0_Y)\}\\ \lambda_X,& (i,j) \in \{(0_X,1),(1,0_X)\} \text{ and } (i',j') = (1,1)\\ \lambda_Y,& (i,j) \in \{(0_Y,1),(1,0_Y)\} \text{ and } (i',j') = (1,1)\\ \mu_A,& (i,j) = (1,0_X)\text{ and } (i',j') = (0_Y,0_X)\\ \mu_A,& (i,j) = (1,0_Y)\text{ and } (i',j') = (0_X,0_Y)\\ \mu_B,& (i,j) = (0_X,1)\text{ and } (i',j') = (0_X,0_Y)\\ \mu_B,& (i,j) = (0_Y,1)\text{ and } (i',j') = (0_Y,0_X)\\ \lambda_X,& (i,j) = (0_X,0_Y)\text{ and } (i',j') = (1,0_Y)\\ \lambda_X,& (i,j) = (0_Y,0_X)\text{ and } (i',j') = (0_Y,1)\\ \lambda_Y,& (i,j) = (0_X,0_Y)\text{ and } (i',j') = (0_X,1)\\ \lambda_Y,& (i,j) = (0_Y,0_X)\text{ and } (i',j') = (1,0_X)\\ 0,& \text{otherwise.} \end{cases} $$ 허락하다 $Z(t)$ 당시의 시스템 상태 $t$, 다음 $\{Z(t):t\geqslant 0\}$ 생성기 행렬이있는 연속 시간 마르코프 체인입니다. $$ Q = \small\left( \begin{array}{ccccccc} -\left(\mu _A+\mu _B\right) & \frac{\mu _A}{2} & \frac{\mu _B}{2} & \frac{\mu _A}{2} & \frac{\mu _B}{2} & 0 & 0 \\ \lambda _X & -\left(\mu _B+\lambda _X\right) & 0 & 0 & 0 & \mu _B & 0 \\ \lambda _Y & 0 & -\left(\mu _B+\lambda _Y\right) & 0 & 0 & 0 & \mu _B \\ \lambda _X & 0 & 0 & -\left(\mu _A+\lambda _X\right) & 0 & 0 & \mu _A \\ \lambda _Y & 0 & 0 & 0 & -\left(\mu _B+\lambda _Y\right) & \mu _B & 0 \\ 0 & \lambda _Y & 0 & 0 & \lambda _X & -\left(\lambda _X+\lambda _Y\right) & 0 \\ 0 & 0 & \lambda _X & \lambda _Y & 0 & 0 & -\left(\lambda _X+\lambda _Y\right) \\ \end{array} \right). $$ 공정에는 고유 한 고정 분포가 있습니다. $\pi$ 만족하는 $$ \pi_{(i,j)} = \lim_{t\to\infty} \mathbb P(Z_t = (i,j)) $$ (배포와 무관 $Z_0$). 우리는 찾을 수있어$\pi$ 행렬 지수를 계산하여 $e^{Qt}$ (이는 Kolmogorov 역 방정식의 고유 한 솔루션입니다. $P'(t)=QP(t)$, $P'(0)=Q$) 및 $\lim_{t\to\infty} e^{Qt}$. 더 실질적으로$\pi$ 선형 연립 방정식을 충족합니다. $\pi Q=0$. 참고$Q$ 단수입니다 (예 : $\det Q=0$) 행의 합계가 모두 0이므로 방정식 중 하나를 $\sum_{(i,j)\in S} \pi_{(i,j)}=1$. 그러나이 행렬의 크기와 매개 변수의 수로 인해 폐쇄 형 솔루션은 다소 다루기 어렵습니다. 예를 들어, 나는 $$ \pi_{(1,1)} = \tiny\frac{2 \lambda _X \lambda _Y \left(2 \mu _B+\lambda _X+\lambda _Y\right) \left(\mu _A+\mu _B+\lambda _X+\lambda _Y\right)}{\lambda _X^2 \left(\mu _B \left(3 \mu _A+10 \lambda _Y\right)+\left(\mu _A+2 \lambda _Y\right){}^2+6 \mu _B^2\right)+\lambda _X \left(\mu _B \left(7 \mu _A \mu _B+4 \mu _A^2+5 \mu _B^2\right)+\lambda _Y^2 \left(6 \mu _A+8 \mu _B\right)+\lambda _Y \left(\mu _A+3 \mu _B\right) \left(3 \mu _A+4 \mu _B\right)+2 \lambda _Y^3\right)+\left(\mu _B \left(3 \mu _A+4 \lambda _Y\right)+2 \lambda _Y \left(\mu _A+\lambda _Y\right)+\mu _B^2\right) \left(\mu _B \left(\mu _A+\mu _B\right)+\mu _A \lambda _Y\right)+2 \lambda _X^3 \left(\mu _B+\lambda _Y\right)} $$ (분모는 페이지 확장을 방지하기 위해 두 줄로 나뉩니다).