JacobiFunction과 관련된 Ramanujan Identity [중복]

Aug 18 2020

다음 신원은 Ramanujan으로 인한 것으로 추정됩니다. $$\int_0^\infty \frac{{\rm d}x}{(1+x^2)(1+r^2x^2)(1+r^4x^2)\cdots} = \frac{\pi/2}{\sum_{n=0}^\infty r^{\frac{n(n+1)}{2}}} \, $$그러나 이것을 어떻게 증명합니까? 오른쪽의 분모는 Jacobi 함수와 관련이 있으므로 모듈 형식을 통해 진행할 수 있습니까?

답변

2 JackD'Aurizio Aug 18 2020 at 22:44

지금은 부분적인 답변입니다. 우리는 증명해야합니다$$ \prod_{n\geq 1}\frac{1}{1+r^n}=\sum_{k\geq 0}\prod_{n=1}^{k}\frac{r^{2n-1}}{r^{2n}-1} $$ 또는 $$ \prod_{n\geq 1}\frac{1-r^n}{1-r^{2n}}=\sum_{k\geq 0}(-1)^k r^{k^2} \prod_{n=1}^{k}\frac{1}{1-r^{2n}} $$ 또는 $$ \prod_{n\geq 1}(1-r^n) = \sum_{k\geq 0}(-1)^k r^{k^2} \prod_{n>k}(1-r^{2n}) $$

오일러의 오각형 수 정리에 의한 LHS는 다음과 같습니다. $$\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(-1)^k r^{k(3k-1)/2} $$ 및 계수 $r^m$$\prod_{n>k}(1-r^n)$ 파티션의 수에 따라 $m$ 카디널리티가있는 별개의 부분으로 $>k$, 부품 수에 따라 양수 또는 음수 부호로 설명됩니다.

이제 오일러의 오각형 수 정리의 조합 증명 에서 사용 된 것과 동일한 인볼 루션을 사용하여 우리의 주장을 증명하는 것이 어렵지 않을 것입니다.