자기장에서 원형 전류 루프를위한 토크 통합 [닫힘]
자기장 내부의 순환 전류 루프에서 토크에 대한 공식을 유도하려고합니다. 공식은 다음과 같습니다.
$\tau = IAB\sin{\theta}$
내가 전류 인 경우 B는 자기장이고 A는 면적입니다.
지금까지 내 시도 :
$d\vec{F} = I\,d\vec{s}\times \vec{B} = IB\,ds\cdot\sin{\alpha}$
이제 토크의 공식이 다음과 같으면 $\tau=bF\sin{\theta}$, 및 $b = r\sin{\alpha}$, 다음
$d\tau = r\cdot sin{\alpha}\cdot IB\sin{\theta}ds\cdot \sin{\alpha} = rIBsin{\theta}\cdot\sin^2{\alpha}\,ds$
궁극적으로이 마지막 방정식의 적분을 취하면 어떻게 적분하는지 정확히 이해할 수 없습니다. $\sin{\alpha}^2\,ds$.
내 근본적인 오해가 여기에 있다고 생각합니다. $d\vec{s}\times \vec{B}$나는 원의 지름을 알고 있기 때문에 될 것입니다. 하지만 표현할 방법이 없다고 생각합니다$\sin{\alpha}$ 에 관하여 $ds$.
내가 잘못 알고 있습니까? 감사합니다
답변
벡터 표기법을 사용하지 않았으므로 매우 끔찍한 것 같습니다. 또한, 당신은$M$ 토크 ( $\tau$) 대신 자기 모멘트 (일반적으로 허용되는 기호)에 대한 것입니다.
증명:
원형 루프는 $x-y$ raduis와 비행기 $r$ 원점 중심 $O$. 시계 반대 방향으로 일정한 전류를 전달하고 있습니다. 균일 한 자기장이있다$\vec B$ 긍정적으로 지시 $x$-중심선.
요소 고려 $d\vec s$ 링에 비스듬히 $\theta$ 각도 대치 $d\theta$원점에서. 이 요소의 토크는 다음과 같습니다.
$$\begin{align}d\tau&=\vec r\times d\vec F=\vec r\times(Id\vec s\times\vec B)\\ &=I(r\cos\theta\ \hat i+r\sin\theta\ \hat j)\times\bigg((-rd\theta\sin\theta\ \hat i+rd\theta\cos\theta\ \hat j)\times(B_0\ \hat i)\bigg)\\ \tau&=I\bigg(\int_0^{2\pi}B_0r^2\cos^2\theta\ d\theta\ (\hat j)-\int_0^{2\pi}B_0r^2\sin\theta\cos\theta\ d\theta\ (\hat i)\bigg)\\ &=I(\pi r^2)B_0\ \hat j=(I\pi r^2\ \hat k)(B_0\ \hat i)\\ &=\vec M\times\vec B \end{align}$$
참고 : 계산 부분을 건너 뛰었습니다. 또한, 당신은 또한 취할 수 있습니다$\vec B=B_x\ \hat i+B_y\ \hat j +B_z\ \hat k$, 나는 $x$-단순함을위한 구성 요소. 결과는 똑같이 줄어들 것입니다. 도체의 모양과 동일하며 사각형이든 원형이든 상관 없습니다.
나는 ds가 실제로 $2r\cdot sin(d\alpha/2)\cdot sin(\alpha)$ 길이 코드 공식으로.
요컨대, 실제로 작성함으로써 $d\vec{s}\times \vec{B}$ 측면에서 $\alpha$.