잔류 유한 그룹의 에피 모피 즘 시퀀스 안정화
허락하다 $G_1 \to G_2 \to \cdots$유한하게 생성 된 잔차 유한 그룹의 에피 모피 즘 시퀀스입니다. 결국 안정화됩니까? 즉, 유한하게 많은 에피 모피 즘이 실제로 동형일까요?
유한하게 생성 된 잔차 유한 그룹은 Hopfian이므로 각 그룹의 간단한 반례는 제외됩니다. $G_i$ 고정 된 그룹이고 각 epimorphisms는 그 자체에 고정 된 그룹입니다.
유사한 결과는 그룹이 잔여 자유가있을 때 유지됩니다. 이것은 Charpentier Guirardel "자유 그룹의 한계로서의 제한 그룹"의 발의안 6.8입니다 . 증거는 잔류 자유 그룹이 잔류한다는 사실 만 사용합니다.$SL_2(\mathbb{C})$, 그리고 그것은 각각의 경우에 적응할 수있을 것 같습니다 $G_i$ 잔존하다 $GL_n(\mathbb{C})$ 고정 $n$. 이것이 일반 유한 그룹에 적용되는 것 같지 않습니다. Jordan-Schur 정리 는 일반 유한 그룹에 대해 최소 차수를 의미합니다.$n$ 삽입되도록 $GL_n(\mathbb{C})$ 임의로 클 수 있습니다.
증명을 적용하는 다른 방법이 있습니까? 반례가 있습니까?
답변
대답은 '아니오". 램프 라이터 그룹 (무한히 제시됨)은 사실상 자유 그룹과 추측 동형의 시퀀스의 한계입니다 (예를 들어이 질문과 답변 참조 ). 사실상 무료 그룹은 모두 잔차 유한합니다.
dodd의 대답과 같은 맥락에서 두 번째 Houghton 그룹에서 반례를 추론 할 수도 있습니다. $H_2$, bijections 그룹으로 정의 됨 $L^{(0)} \to L^{(0)}$ bi-infinite 라인에서 유한 한 정점 쌍에 대해 인접성과 비 인접성을 보존합니다. $L$. 프레젠테이션$H_2$ 이다 $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle$$ 어디 $t$ 단위 번역에 해당하고 $\sigma_i$ 순열에 $(i,i+1)$. 이제 프레젠테이션을 자르고$G_n$ 통하다 $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ n \geq |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle.$$ 관계를 사용하여 $t\sigma_it^{-1}=\sigma_{i+1}$ 발전기를 제거하기 위해 $\sigma_0,\sigma_{-1},\ldots$ 과 $\sigma_{n+2},\sigma_{n+3},\ldots$, 우리는 다음 프레젠테이션을 찾습니다. $G_n$: $$\left\langle \sigma_1, \ldots, \sigma_{n+1}, t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ 1 \leq i \leq n} \right. \right\rangle.$$ 이 프레젠테이션에서 $G_n$ HNN 확장으로 분해 $$\left\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_{n+1} \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \right. \right\rangle,$$ 대칭 그룹과 동형으로 밝혀졌습니다. $\mathfrak{S}_{n+2}$, 안정된 문자가 결합되는 곳 $\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_n \rangle$ ...에 $\langle \sigma_2, \ldots, \sigma_{n+1} \rangle$. 따라서 유한 그룹의 HNN 확장으로서$G_n$ 사실상 무료 여야합니다.
결론은 정규 몫 맵이 $G_1 \twoheadrightarrow G_2 \twoheadrightarrow \cdots$ 안정화되지 않는 사실상 자유 그룹 간의 에피 모피 즘 시퀀스를 정의합니다.
비고 : 램프 라이터 그룹으로 위의 주장을 거의 한마디로 재현함으로써$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ Houghton 그룹 대신 $H_2$동일한 결론을 제공합니다. 그 이유는 이러한 그룹이 유사한 구조를 가지고 있기 때문입니다.$C \rtimes \mathbb{Z}$ 일부 지역 유한 Coxeter 그룹 $C$ 어디 $\mathbb{Z}$ 행동하다 $C$ 그래프 정의의 등거리 변환을 통해 $C$. (느슨하게 말하면이 형태의 다른 모든 그룹은$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ 과 $H_2$, 따라서이 방향에 대한 다른 흥미로운 예는 없습니다.)