적도와 기울어 진 대원의 호 길이를 계산하는 방법 $\phi°$ 쪼개짐 $12$ 경도 별 호 $30°$ 떨어져서?

Aug 17 2020

큰 원은 $\phi°$적도에 대한 기울기. 경도$30°$ 적도를 나누는 떨어져서 그려집니다 $12$ 같은 크기의 호 (지구 반경$*30$). 경 사진 대원의 해당 호는 길이가 다양합니다. 모두에 대한 대치 각도를 계산하는 방법$12$ 호?


내가 알아 낸 것 :

  1. 다음은 다이어그램입니다. 문제 설명

  2. $\phi =$ 대권의 가장 낮은 지점과 가장 높은 지점의 위도 (기호 무시 $+/-$).

  3. 두 원의 호 길이 $90°$ 대치 각도는 원주의 1/4과 같습니다.

  4. 구형 삼각법에 대한 Haversine 규칙 및 사인 규칙을 사용 하여 풀려고 시도 했지만 프로그래밍 할 때$12$ 호는 지구의 둘레와 같지 않습니다.


자극:

호의 대위 각도는 위도와 경도에 따라 달라집니다. 그 계산은 제가 구축하려는 점성술 소프트웨어에 매우 중요합니다. 도움을 주셔서 미리 감사드립니다!

답변

OscarLanzi Aug 17 2020 at 20:11

누적 호 길이를 계산하는 것이 더 나을 수 있습니다.

허락하다 $A$ 호가 적도에 닿는 지점이고 $B$ 당신이 이동하는 어느 지점이든 $A$. 때문에$A$ 두 점 중 하나 일 수 있으며, 일반성을 잃지 않고 가정 할 수 있습니다. $B$ 에 의해 대체 $\le 180°$ 경도$A$. 따라서 경도 변위 호출$\theta$.

무승부 $\triangle ABP$ 어디 $P$극 중 하나입니다. 그때$\angle P$ 측정 $\theta$, 호 $AP$ 90 °를 측정하고 $\angle A$ 측정 $90°-\phi$.

삼각형을 풀 때 나는 일반적으로 사인 대신 코사인으로 작업하는 것을 선호합니다. 코사인 함수는 단조롭고 다음과 같이 명확한 역을 제공합니다.$0°$ ...에 $180°$, sine 함수는 인수가 전달됨에 따라 자체적으로 두 배가됩니다. $90°$. 따라서 코사인 법칙을 살펴보십시오. 여기와 같이 두 개의 각도와 포함 된 변이있을 때 코사인제 2 법칙이 가장 잘 작동합니다. 이 삼각형의 경우 법칙은 세 번째 각도에 대해 다음을 제공합니다.$\angle B$:

$\cos \angle B = -\cos \angle A\cos \angle P+\sin \angle A\sin \angle P\cos AP$

여기에서 오른쪽의 두 번째 항은 다음과 같이 0이됩니다. $AP$ 측정 $90°$. 위에 알려진 각도를 연결하면 렌더링됩니다.

$\cos \angle B = -\sin \phi\cos \theta$

그런 다음 동일한 법칙을 한 번 더 적용합니다. 이번에는 $\angle P$ 왼쪽 :

$\cos \angle P = -\cos \angle A\cos \angle B+\sin \angle A\sin \angle B\cos AB$

알려진 값을 연결하고 $\sin u =+\sqrt{1-\cos^2 u}$ ...에 대한 $0\le u\le 180°$, 우리는

$\cos \theta = \sin^2 \phi\cos\theta+(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$

$\cos^2 \phi\cos\theta=(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$

호 길이에 대한이 공식 $AB$:

$\color{blue}{\cos AB = \dfrac{\cos \phi\cos \theta}{\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta}}} (0°\le\theta\le 180°)$