점수를 할당하는 방법의 수

Nov 24 2020

다음으로 구성된 테스트 $12$ 질문은 $200$포인트들. 얼마나 많은 방법이$200$ 각 질문이 적어도 가치가 있어야 할 경우 점수가 부여됩니다. $10$ 포인트 이상 $25$ 점수는 다음의 배수 여야합니다. $5$?

나는 반복과 가능한 조합에 대해 생각하고 있습니다. $15$ 포인트들 ($80/5$) 중 $12$질문. 하지만 최대 제한을 적용하는 방법을 모르겠습니다.$25$.$3$ 각 질문에 $\frac{25-10}{3}$.

그러나 첫 번째 질문이 가치가 있는지는 중요하지 않다는 의미로 진술을 해석하기 때문에 반복과의 조합도 아닐 수 있습니다. $30$ 포인트와 두 번째 가치 $10$, 그 반대입니다. 이 특정 예가 고유 한 방법이라는 것을 이해합니다. 그렇지 않습니까?

답변

1 BrianM.Scott Nov 24 2020 at 02:17

각 점수는 $5$, 우리는 모든 포인트 값을 $5$ 그리고 가지고 $12$ 총 가치가있는 질문 $40$ 포인트, 각 질문은 적어도 가치가 $2$ 그리고 기껏해야 $5$포인트들. 만약$p_k$ 의 포인트 가치입니다 $k$-th 질문, 우리는 해결책의 수를 찾고 있습니다

$$\sum_{k=1}^{12}p_k=40\tag{1}$$

정수로 $p_k$ 조건을 만족시키는 $2\le p_k\le 5$ ...에 대한 $k=1,\ldots,12$. 허락하다$x_k=p_k-2$ ...에 대한 $k=1,\ldots,12$; 다음 솔루션의 수$(1)$ 명시된 제한에 따라 솔루션의 수와 동일합니다.

$$\sum_{k=1}^{12}x_k=16$$

음이 아닌 정수로 $x_k$ 조건을 만족시키는 $x_k\le 3$ ...에 대한 $k=1,\ldots,12$. 숫자 상한이 아니었다면$x_k$, 이것은 표준 별과 막대 문제가 될 것입니다.$\binom{16+12-1}{12-1}=\binom{27}{11}$그들의. 불행히도 이러한 솔루션 중 다수는 하나 이상의 숫자에 대한 상한을 위반합니다.$x_k$, 그래서 $\binom{27}{11}$상당한 과대 평가입니다. 이를 수정하려면 포함-제외 계산을해야합니다. 이 질문에 대한 나의 대답 에는 그러한 계산 이 포함됩니다. 문제의 해결책을 완성하기위한 모델로 사용하십시오.

1 ParclyTaxel Nov 24 2020 at 02:24

모든 점수는 $5$ 우리는 그것으로 나눌 수 있습니다. $40$ 총점 및 질문 점수 $2$ ...에 $5$포인트들. 각 질문은 최소한$2$ 포인트, 우리는 질문을 보유로 생각할 수 있습니다 $24$ "기준점", 배포 할 방법이 얼마나 많은지 문제를 남깁니다. $16$ "추가 포인트"는 $12$ 더 많은 질문이있는 질문 $3$ 그들의.

생성 함수 문제로서 이것은 $x^{16}$ 계수 $(1+x+x^2+x^3)^{12}$. 그리고 대답은$1501566$.