증명 $f(W)$ 그래프입니다 $y_{n+1} = \varphi(y_1,\cdots,y_n)$
허락하다 $f: U \subseteq \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^{n+1}$ 수업에 속하다 $C^k,k\geq 1,$ 과 $U$열다. 모든 경우$x\in U$, $$f(x) = (f_1(x),\cdots, f_{n+1}(x)) \text{ and }\det\bigg(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\bigg)_{1\leq i,j \leq n} \neq0,$$ 그런 다음 모든 $x\in U$, 이웃이 있습니다 $W\subseteq U$ 의 $x$ 그런 $f(W)$ 의 그래프입니다 $C^k$ 함수 $y_{n+1} = \varphi (y_1,\cdots,y_n)$.
에 대해 말하는 것 $f(W)$ 그래프입니다 $\varphi$ 다음 세트가 같다고 말하는 것과 같습니다.
$\{(f_1(x),\cdots,f_{n+1}(x)): x\in W\} = \{((y_1,\cdots,y_n,\varphi(y_1,\cdots,y_n)): (y_1,\cdots,y_n)\in \text{Domain of $\ varphi$}\}$.
즉, 로컬에 기능이 있음을 증명해야합니다. $\varphi$ 이전 좌표에 따라 $f_1,\cdots,f_n$.
제가 제일 먼저 알아 차린 것은 $f'(x)$주입 선형 변환입니다. 실제로, 우리는$n = \dim \ker f'(x) + \dim \text{im}f'(x) \geq n + \dim \ker f'(x) \geq n \implies \dim\ker f'(x) =0,$ 이후 $f'(x)$ 적어도 $n$ 선형으로 독립된 선.
이제 나는 정확히 어떻게 진행해야할지 모르겠습니다. 처음에는 지역 몰입 정리를 사용하는 것이 궁금했습니다.$f'(x)$ 그러나 나는이 정리를 사용하여 표현하는 방법을 볼 수 없었다. $f_{n+1}$ 다른 측면에서.
나는 또한 기능을 고려했습니다 $\pi:\mathbb R^{n+1} \rightarrow \mathbb R^n, (x_1,\cdots, x_{n+1}) \mapsto (x_1,\cdots, x_n).$
그래서, $\pi(f(x)) = (f_1(x),\cdots,f_n(x)).$ 쓰기 $g = \pi \circ f$, 그 파생물 $g'(x)$ 가역적이므로 역으로 국부적으로 이형 화됩니다. $h$. 따라서,$\pi \circ f \circ h = g \circ h = I_d$ 그리고 우리는 $\pi(f(h(x_1,\dots,x_n) ) = (x_1,\cdots,x_n).$ 내가 "제거"할 수 있다면 $\pi$ 어떻게 든이 방정식은 나에게 $f(h(x_1,\cdots,x_n)) = (x_1,\cdots,x_n,\varphi(x_1,\cdots,x_n))$그리고 그것이 그가 보여줄 필요가있는 것입니다. 그러나 나는 이것을 말하거나 정당화하는 명확한 방법을 찾을 수 없습니다.
통찰력, 힌트? 감사합니다.
답변
당신은 진실에 매우 가깝습니다.
나는 포인트를 표시 할 것이다 $y\in{\mathbb R}^{n+1}$ 으로 $(y',y_{n+1})$ 와 $y'=(y_1,\ldots, y_n)$, 그리고 $\pi:\>{\mathbb R}^{n+1}\to{\mathbb R}^n$ 마지막 좌표를 잊어 버린 투영입니다.
임의의 지점 선택 $p\in U$, 그리고 $f(p)=:q=(q',q_{n+1})$. 우리는 어디에나 있기 때문에$${\rm det}\left({\partial f_i\over\partial x_k}\right)_{1\leq i,\,j\leq n}\ne0$$ 이웃이있다 $W$ 의 $p$ 그런지도 $$f':=\pi\circ f=(f_1,f_2,\ldots, f_n)$$ 지도 $W$ 이웃에 이형 적으로 $V\subset{\mathbb R}^n$ 요점의 $q'\in{\mathbb R}^n$. 이있다$C^1$-역 $$g:=\bigl(f'\bigr)^{-1}:\quad V\to W\ .$$ 그만큼 $C^1$ 함수 $$\phi:=f_{n+1}\circ g:\quad V\to{\mathbb R}$$ 각 포인트에 대해 제공 $y'\in V$ 마지막 좌표 $y_{n+1}$ 포인트의 $y=(y',y_{n+1})\in{\mathbb R}^{n+1}$. 이것의 그래프$\phi$ 세트입니다 $${\cal G}=\bigl\{\bigl(y',\phi(y')\bigr)\in{\mathbb R}^n\times{\mathbb R}\bigm| y'\in V\bigr\}\ .$$ 참고 $f(W)=(f\circ g)(V)$. 에서$$(f\circ g)(y')=\bigl((f'\circ g)(y'),(f_{n+1}\circ g)(y')\bigr)=\bigl(y',\phi(y')\bigr)\qquad(y'\in V)$$ 마침내 실제로 $f(W)={\cal G}$.