증명 $(M \otimes_A N)_q = M_p \otimes_{A_p} N_q$ 프라임 $q$ 누워 $p$

Question

허락하다 $f : A \to B$단위 교환 고리 사이의 형태입니다. 따라서 우리는$B$-모듈 $A$-이지도를 통한 모듈 $A$-모듈 $B$-텐서 링을 통한 모듈 $- \otimes_A B$.

하지 마십시오 $M$ 과 $N$ 있다 $A$-그리고 $B$-모듈 각각. 소수가 주어짐$q$ 의 $B$ 그리고 소수 위에 누워 $p$ 에 $A$, 우리는 $f$ 각 지역화 사이의 맵으로 내려가므로 위와 유사한 대응이 해당 모듈에 적용됩니다.

나는 그것을 보여주고 싶다 $$ M_p \otimes_{A_p} N_q \simeq (M \otimes_A N)_q, $$ 같이 $B_q$-모듈.

내 추론은 다음과 같습니다.

$$ (M \otimes_A N)_q \simeq M \otimes_A N \otimes_B B_q \simeq M \otimes_A N_q, $$

과 $N_q$ 이다 $B_q$-모듈, 그것은 $A_p$-모듈, 따라서 $N_q \simeq A_p \otimes_{A_p} N_q$ 따라서

$$ (M\otimes _A N)_q \simeq M \otimes_A A_p \otimes_{A_p} N_q \simeq M_p \otimes_{A_p} B_q. $$

이것은 괜찮아 들리지만 나는 그것에 대해 크게 신경 쓰지 않고 "다른 링에 대한 텐서 제품의 연관성"을 사용하고 있습니다.

온 전성 검사 및 / 또는 참조를 많이 주시면 감사하겠습니다.

Answer 1

당신의 주장은 효과가 있습니다! 당신은 단순히$f : A\to B$ 링 형태입니다. $M$ 권리이다 $A$-기준 치수, $N$ 이다 $(A,B)$-bimodule 및 $L$ 왼쪽이다 $B$-모듈, 다음 $(M\otimes_A N)\otimes_B L\cong M\otimes_A (N\otimes_B L)$( 여기 참조 ). 이 사실을$(*).$ 아시다시피 $M$ 이다 $R$-모듈 및 $S\subseteq R$ 곱셈 집합이면 $S^{-1}M\cong M\otimes_R S^{-1}R;$ 이 사실을 불러 $(**).$ 그렇다면 귀하의 주장은 다음과 같은 계산입니다. \begin{align*} (M\otimes_A N)_q &\cong (M\otimes_A N)\otimes_B B_q\qquad\quad\textrm{(using (**))}\\ &\cong M\otimes_A(N\otimes_B B_q)\qquad\quad\textrm{(using (*))}\\ &\cong M\otimes_A N_q\qquad\qquad\qquad\textrm{(using (**))}\\ &\cong M\otimes_A (A_p\otimes_{A_p} N_q)\qquad\textrm{because }R\otimes_R M\cong M\\ &\cong (M\otimes_A A_p)\otimes_{A_p} N_q\qquad\textrm{(using (*))}\\ &\cong M_p\otimes_{A_p} N_q\qquad\qquad\quad\textrm{(using (**))}. \end{align*}