증명 $\mathbb{R}[x,y]/(x^2,y^2)$ 고리로 동형이 아닙니다. $\mathbb{R}[x,y]/(xy,x^2-y^2)$.

Aug 20 2020

어떻게 증명합니까? $\mathbb{R}[x,y]/(x^2,y^2)$$\mathbb{R}[x,y]/(xy,x^2-y^2)$고리처럼 동형이 아닙니까? 동형이 아님을 쉽게 보여줄 수 있습니다.$\mathbb{R}$-대수; 그러나 임의의 고리 동형은 다음의 요소를 보낼 수 있습니다.$\mathbb{R}^*$다른 반전 가능한 요소에. 일반적인 속성은 두 개의 링 (축소도, 치수, 정규성 등)을 구분하지 않습니다.

답변

2 AnginaSeng Aug 20 2020 at 16:12

$R_1=\Bbb R[x,y]/(x^2,y^2)$ 4 차원이다 $\Bbb R$-기초 $1$, $x$, $y$, $xy$.

$R_2=\Bbb R[x,y]/(xy,x^2-y^2)$ 4 차원이다 $\Bbb R$-기초 $1$, $x$, $y$, $x^2$.

둘 다 로컬 링입니다. $R_1$ 이다 $M_1=(x,y)$ 그리고 최대 이상 $R_2$ 이다 $M_2=(x,y)$. 동형$\phi:R_1\to R_2$ 수행해야 $M_1$ ...에 $M_2$. 따라서$\phi(x)=ax+by+cx^2$ 어디 $a$, $b$, $c\in\Bbb R$. 같이$x^2=0$$R_1$ 그때 $(ax+by+cx^2)^2=0$$R_2$. 그러나$$(ax+by+cx^2)^2=a^2x^2+2abxy+b^2y^2=(a^2+b^2)x^2$$$R_2$ 그래서 $a^2+b^2=0$, 그건 $a=b=0$, 등 $\phi(x)=cx^2$. 마찬가지로$\phi(y)=dy^2$ 어디 $d\in \Bbb R$. 사소하지 않은 일부$\Bbb R$-선형 조합 $x$$y$ 0으로 보내야합니다. $\phi$. 따라서$\phi$ 동형이 될 수 없습니다.