증명한다면 $a+b$ 비합리적인 숫자 인 경우 다음 중 하나 이상 $a$ 또는 $b$ 비합리적입니다.

Aug 17 2020

나는 책에서이 질문을 발견했습니다. 나는 조건을 다음과 같이 증명해 보았다. a와 b가 합리적이라고 가정하자. 분명히 합계$a$$b$ 합리적이며 조건과 모순됩니다. $a+b$비합리적입니다. 따라서 a 또는 b 중 적어도 하나는 비합리적입니다.

뭔가 잘못 됐다는 느낌이 들어요. 여기에 반대 증명을 사용하는 것이 더 나을 수 있다고 생각하지만 증명의 세계에 익숙하지 않기 때문에 확실하지 않습니다.

답변

peek-a-boo Aug 17 2020 at 20:55

증명하려는 진술은 $\forall a,b\, (a+b\notin \Bbb{Q} \implies a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q})$. 이것은 단순히 "모든 사람을위한"진술의 상징적 번역입니다.$a,b$, 만약 $a+b$ 비합리적이며 적어도 $a$ 또는 $b$ 비합리적입니다. "

여기, 진술 $X$ "$a+b\notin \Bbb{Q}$"및 진술 $Y$ "$a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q}$". 따라서"for every $a,b$ ($X \implies Y$) "는"for every $a,b$ $(\neg Y \implies \neg X)$",이 경우 :

모든 $a,b$ 우리는 ($a\in \Bbb{Q}$$b\in \Bbb{Q} \implies a+b \in \Bbb{Q}$)

그리고 이것은 당신이 주장한 것입니다.

AnalysisStudent0414 Aug 17 2020 at 20:52

나는 당신의 "나는 여기에서 대 조약이 어떻게 작용하는지 모르겠다"라고 언급하고 싶다.

허락하다 $\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (불합리한 숫자의 집합).

당신은 그것을 보여주고 싶어

$$ a+b \in \mathbb{I} \implies a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}$$

피임약으로 전환하기 전에 $a \in \mathbb{R}$ $$ \lnot (a \in \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in (\mathbb{R} \setminus \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in \mathbb{Q}$$

이제 피임약은

$$ \lnot (a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}) \implies \lnot (a+b \in \mathbb{I})$$ 위의 관찰에 비추어 볼 때 $$ a \in \mathbb{Q} \land b \in \mathbb{Q} \implies a+b \in \mathbb{Q}$$

정의 속성입니다 $\mathbb{Q}$.

또한 기억하십시오 $\lnot (P \vee Q) = (\lnot P) \land (\lnot Q)$.