직사각형 영역에서 전역 최대 / 최소 찾기
이 함수의 모든 글로벌 최대 / 최소 포인트를 찾으십시오.
$$f(x,y) = (x-3)^2 + (y-4)^2 + 100$$
정점이있는 직사각형에서 :
$$(-2,-1), (3,-1), (-2,1) , (3,1)$$
이 직사각형을 그리려고했는데 다음과 같습니다.
$$ [-2,3] \times [-1, 1] $$
편도 함수를 계산했습니다.
$f_x = 2(x-3) = 0 \Rightarrow x = 3$
$f_y = 2(y-4) = 0 \Rightarrow y = 4$
그래서 유일한 요점은 $(3,4)$
직사각형에없는 것은 ... 그래서 글로벌 최대 / 최소 포인트가 없습니까? 이것이 잘못된 접근이라고 생각합니다. 도움을 주시면 감사하겠습니다!
감사합니다!
답변
지점 찾기 $f_x = 0$ 과 $f_y = 0$지역 내부 의 모든 극한값을 제공합니다.$[-2, 3] \times [-1, 1]$, 즉 열린 직사각형 $(-2, 3) \times (-1, 1)$. 당신이 보여준 것은 내부에 국소 극한이 없다는 것입니다. 그러나 직사각형의 경계에는 여전히 최대 / 최소가있을 수 있습니다. (사실$[-2, 3] \times [-1, 1]$ 콤팩트하고 분석에 따르면 글로벌 최대 및 최소를 찾을 수 있습니다.)
이러한 글로벌 최대 값과 최소값을 찾으려면 어떤 값이 $f$ 직사각형의 경계를 차지 $[-2, 3] \times [-1, 1]$. 가장 작거나 큰시기는 언제입니까?
예를 들어 먼저 직사각형의 아래쪽 가장자리를 볼 수 있습니다. 이것은 포인트 세트입니다$\{ (a, -1): a \in [-2, 3] \}$. 이 지역에서 우리의 기능$f$ 가치를 취하다
$$f(x, -1) = (x- 3)^2 + (-1 - 4)^2 + 100 = x^2 - 6x^2 + 134$$
이후 $y$ 항상 $-1$직사각형의 아래쪽 가장자리에 있습니다. 여기에서 단일 변수 미적분을 사용하여 다음 값을 계산할 수 있습니다.$x$ 에 $[-2, 3]$ 어떤 $f$ 최소 / 최대입니다.
그런 다음 다른 쪽에도 동일한 작업을 수행합니다.
(편집 : 사각형의 내부뿐만 아니라 사각형의 가장자리를 확인해야하는 것처럼 측면 자체뿐만 아니라 측면 (즉, 네 모서리)의 "가장자리"도 확인해야합니다. 즉,하지 마십시오. t 네 모서리 각각에서 f를 계산할지 여부를 잊어 버리고 극한 점을 제공하는지 확인합니다.)
찾은 지점이 사각형에 없다는 사실은 전체 기능을 살펴보면 최대 / 최소 지점이 사각형에 없다는 것을 의미합니다. 그러나 우리는 직사각형으로 묶인 함수의 작은 영역만을보고 있습니다.
그 직사각형으로 묶인 함수의 그래프를 상상할 수 있다면, 테두리 어딘가에 확실히 최대 값과 최소값이 있음을 알 수 있습니다. 단일 변수 미적분에서 이것은 극단 값 정리로 설명됩니다.
따라서 함수와 평면 y = 1, y = -1, x = -2 및 x = 3의 교차로 인해 발생하는 네 줄의 최대 및 최소 점을 찾아야합니다.이 평면은 직사각형의 측면.
더 궁금한 점이 있으면 기꺼이 도와 드리겠습니다.
극한이 경계에있는 고전적인 경우에 있으므로 편도 함수를 없애는 데 실제로 쓸모가 없습니다.
기하학적으로 생각하십시오 : 문제는 포물면의 교차점을 다룹니다 $P$ 누구의 정점에 $(3,4,100)$ 및 축 정의 $x=3,y=4$ 그리고 상자 $B$ Oxy 평면과의 교차점이 당신이 찾은 것입니다.
비고 : 교차로 $I=B \cap P$ 포물선 호의 합집합입니다.
I의 가장 낮은 지점은 세로축을 따라 $(x=3, y=1)$(P의 축에 가장 가까운). 이 값을 방정식에 대입하여$z_{min}=109$.
I의 가장 높은 지점은 P의 축에서 가장 먼 상자의 수직 가장자리, 즉 좌표로 얻어집니다. $(x=-2,y=-1)$. 다시 한 번이 값을 방정식에 연결하여$z_{max}=150$.