지속적으로 차별화되는 것의 올바른 정의는 무엇입니까?
가정 $V$ 과 $W$ Banach 공간, $U\subset V$ 열려 있고 $F:U\to W$차별화 할 수있는 기능입니다. 그런 다음 파생$F$ 지도입니다 $$ DF:U\to B(V;W) $$ 어디 $B(V;W)$ 연속 선형 맵의 Banach 공간입니다. $V\to W$.
우리는 말한다 $F$입니다 클래스의 $\mathcal{C}^1$ 어느 시점에서 $x_0\in U$ 매핑이 $$ U\ni x\mapsto DF(x) \in B(V;W) $$ 연속적이다 $x_0$; 우리는 말한다$F$입니다 클래스의 $\mathcal{C}^1$ 의 위에 $U$ 만약 $F$ 수업 중이다 $\mathcal{C}^1$ 각 지점에서 $U$.
만약 $X$ Banach 공간의 임의의 하위 집합입니다. $V$ 과 $f:X\to W$ 지도라고하면 $f$입니다 클래스의 $\mathcal{C}^1$ 의 위에 $X$ 열린 하위 집합이있는 경우 $U$ 의 $V$ 어디 $X\subset U$ 및 기능 $F:U\to W$ 수업의 $\mathcal{C}^1$ 의 위에 $U$ 어디 $F|_X=f$. (비공식적으로, 우리는$f$ 클래스의 오픈 세트에 $\mathcal{C}^1$.)
함수에 대한 답변 참조$f$단일 지점에서만 지속적으로 차별화 할 수 있습니다. 즉,$g(t)=t^2\sin(1/t)$ ...에 대한 $t\in\mathbb{R}$ 다음 기능 $$ f(t) = \sum_{n\geq 1} \frac{g(t-1/n)}{2^n} $$ 지속적으로 차별화 할 수 있습니다. $t=0$. 하나,$f$ 원점에 임의로 가까운 불연속성이 있으므로 $f$ 수업 일 수 없다 $\mathcal{C}^1$ 포함하는 모든 오픈 세트에 $0$.
그건, $f$ 클래스의 함수입니다 $\mathcal{C}^1$ ...에서 $0$,하지만 $f$ 아니다 $\mathcal{C}^1$ 의 위에 $\{0\}$.
이것은 나에게 옳지 않은 것 같습니다. 물론, 우리가 만나는 함수가 이런 식으로 작동하는 것은 "전형적인"것은 아닙니다. 그러나이 예는 여전히 나를 괴롭 힙니다. 우리는 무엇을 할 수 있습니까? 이런 일이 발생하지 않도록 위의 정의를 약간 수정할 수 있습니까? 내가 언급 한 대답이 어떻게 든 틀렸습니까? (그가 말한 결과를 증명할 수 없었습니다 ...)
답변
내가 아는 방식, 함수는 $\mathcal C^1$ 세트에 $X\subseteq V$ 만약 그렇다면 $\mathcal C^1$ 내부에 $X$ 과 $\mathrm Df$ 지속적으로 확장 가능 $X$. 이 정의를 사용하면 예제 함수는 다음과 같습니다.$\mathcal C^1$ 의 위에 $\{0\}$,이 세트의 내부가 비어 있고 어떤 기능도 막연하게 $\mathcal C^1$빈 세트에. 그러나이 정의는 내부가 비어 있지 않은 세트 에서만 흥미 롭습니다 . 충족되지 않는 세트에 대한이 정의의 동작$X=\overline{X^\circ}$, 처럼 $\{0\}$, 그냥 재미있는 인공물입니다. 또한 다음과 같은 기능이 발생합니다.$\mathcal C^1$ 의 위에 $\{0\}$, 하지만 $\mathcal C^1$ 에 $0$, 그래서 당신이 언급 한 것과 반대되는 딜레마.
이러한 이유로, 일반적으로 오픈 세트 또는 오픈 세트의 클로저로 제한하고 걱정하지 않는 것이 가장 좋습니다. $\mathcal C^1$-싱글 톤 세트에서. 어쨌든 큰 통찰력을 얻지 못할 것입니다. 그러면 정의는 다음과 같이 읽습니다.
허락하다 $U\subseteq V$열려 있습니다. 그때$\mathcal C^1(U,W)$ 지속적으로 차별화 할 수있는 모든 기능의 집합입니다. $U\to W$, 및 $\mathcal C^1(\overline U,W)$ 모든 연속 함수의 집합입니다. $f:\overline U\to W$ 어떤 $f\vert_U\in\mathcal C^1(U,W)$ 그런 $\mathrm D(f\vert_U)$ 지속적으로 확장 가능 $\overline U$.