지수 분포 및 최우수 함수 추가
Carshop 견적 $\alpha$자동차 오일 교환 시간. 실제 필요한 시간$X$ 다양하다 $X\geq \alpha$고객마다 다릅니다. 이 시간은 지수 확률 변수로 설명 할 수 있다고 가정 할 수 있습니다. 따라서 랜덤 변수 X에는 다음과 같은 PDF가 있습니다.
$$f_X(x):=\begin{cases}e^{\alpha -x} &x\geq \alpha \\ 0 & \text{else}\end{cases}$$
즉 $X=\alpha + Z$ 이므로 $Z\sim exp(1)$.
추정하려면 $\alpha$, 10 명의 고객의 오일 교환에 필요한 시간을 측정했습니다.
$$4.2 \quad 3.1 \quad 3.6 \quad 4.5 \quad 5.1 \quad 7.6 \quad 4.4 \quad 3.5 \quad 3.8 \quad 4.3$$
여기서 우리는 경험적 평균을 얻습니다. $\bar{x}_{10}=4.41$.
Maximum-Likelihood-Estimator를 계산합니다. Likelihood-Function을 파생 할 수 없습니다.)
솔루션 가능성 함수는 다음과 같이 제공됩니다.
$$\begin{align} L(\alpha;x_1,\dots,x_n)&=\prod_{i=1}^nf_\alpha(x_i)=\prod_{i=1}^ne^{\alpha -x_i}1_{[\alpha, \infty)}(x_i)\\ &=exp\bigg(n\alpha-\sum_{i=1}^nx_i\bigg)\cdot \prod_{i=1}^n 1_{[\alpha,\infty)}(x_i)\\ &=exp\bigg(n\alpha-\sum_{i=1}^nx_i\bigg)\cdot \bigg(\min_{1\leq i \leq n} x_i\bigg)\\ &=\begin{cases}\exp(n\alpha-\sum_{i=1}^n x_i) & \alpha \leq \min_{1\leq i \leq n} x_i \\ 0 & \text{else}\end{cases} \end{align}$$
이므로
$$1_A(x)=\begin{cases}1 & x\in A \\ 0 & \text{else}\end{cases}$$
가능성-함수를 최대화하려면 다음을 선택해야합니다. $\alpha$ 가능한 한 크지 만 이보다 클 수는 없습니다. $\min_{1\leq i \leq n} x_i$. 따라서 다음과 같은 Maximum-Likelihood-Estimator를 얻습니다.
$$\hat{\alpha}=\min_{1\leq i \leq n} x_i \quad \text{ or as a random variable} \quad \hat{\alpha}=\min_{1\leq i \leq n} X_i$$
질문 : 이제 계산을하는데 PDF가 혼란 스럽습니다. 랜덤 변수가 있다고 말하면$X=\alpha + Z$ 와 $Z\sim exp(1)$, 위의 PDF를 어떻게 얻을 수 있습니까?
또한 PDF에 대해 약간 혼란스러워서 왜 우리가 에스티 메이터를 찾고 있는지 잘 모르겠습니다. $\alpha$ 즉 나는 그것을 볼 수 없다 $\alpha$ 분포의 매개 변수를 나타냅니다.
답변
기억하세요 $$Z \sim \operatorname{Exponential}(1)$$ 암시 $$f_Z(z) = e^{-z} \mathbb 1(z \ge 0).$$ 이제 $X = g(Z) = \alpha + Z$ 일부 매개 변수 $\alpha$. 그때$Z = g^{-1}(X) = X - \alpha$, 및 $dg^{-1}/dx = 1$. 그러므로$$f_X(x) = f_Z(g^{-1}(x)) \left|\frac{dg^{-1}}{dx}\right| = e^{-(x-\alpha)} \mathbb 1 (x-\alpha \ge 0) = e^{\alpha-x} \mathbb 1(x \ge \alpha),$$주장대로. 그러나 이것은 너무 형식적입니다. 당신이 이해한다면$Z$ 에 $[0, \infty)$, 다음 $\alpha + Z$ 단순히 지원을 $[\alpha, \infty)$밀도에 대해서는 아무것도하지 않습니다. 따라서 고정 매개 변수를 추가 할 때 지수 분포에 대한 위치 변환 만 수행하면됩니다.$\alpha$.
다른 질문은 $\alpha$차량을 서비스하는 데 걸리는 최소 시간을 나타내는 모델의 고정 수량이기 때문에 사실 매개 변수이지만 우리에게 알려지지 않은 상태로 남아 있습니다. 샘플을 관찰함으로써 우리는 우리가 관심을 갖는 진정한 가치에 대한 추론을 시도하고 있습니다. 추정 할 수있는 다른 매개 변수가 모델에 없습니다. 평균 서비스 시간을 추정하고 싶다고 생각할 수 있지만 이미$\operatorname{E}[Z] = 1$, 그 후 $$\operatorname{E}[X] = \operatorname{E}[\alpha + Z] = \alpha + 1.$$따라서 평균 서비스 시간에 대한 지식은 최소 서비스 시간에 대한 정보를 제공합니다. 이것은 우리가 사용하는 모델이 이미$\operatorname{E}[Z] = 1$추가 매개 변수를 추가하지 않습니다. 그러나 확실히 우리는 더 일반적인 상황을 고려할 수 있습니다.$$\operatorname{E}[Z] = \theta, \\ f_Z(z) = \frac{1}{\theta} e^{-z/\theta} \mathbb 1(z \ge 0),$$ 평균 모수가있는 지수 분포입니다. $\theta$ (또는 동등하게, rate $1/\theta$). 추론에만 관심이 있다면$\alpha$, 다음 $\theta$성가신 매개 변수 로 간주되고 샘플 평균은에 대한 추정치 로 간주됩니다.$\alpha$ 에 의해 "오염"될 것입니다 $\theta$. 적합한 추정기를 어떻게 구성 할 수 있습니까?$\alpha$ 언제 $\theta$ 또한 알 수 없습니까?