지수 정리의 K 이론 증명-약간의 혼란
나는 일반적인 접근 방식을 이해하려고 노력하고 있습니다. $K$-이를 사용하여 Atiyah-Singer 지수 정리의 이론적 증명 https://arxiv.org/pdf/math/0504555.pdf종이. 29 페이지에서 다음과 같은 내용이 설명 된 혼란을 겪었습니다.
"분석적 지수가 Thom 동형과 정류한다는 것을 보여줄뿐입니다. $\phi:K(X)\to K(V)$ 어디 $V$ 복잡한 벡터 번들입니다. $X$. [...] 제품으로 표현할 수있는 사소한 번들을 고려하면이 문제는 상당히 단순화됩니다.$V = X \times\mathbb{R}^n$. "
같은 페이지에서 벡터 번들을 고려합니다. $Y$ 일부 교장의 관련 번들로 보입니다. $G$-번들이지만 저자는 다시 고려 $P\times_{O(n)} \mathbb{R}^n$즉, 실제 벡터 번들입니다. 복잡한 벡터 번들에 대해 무언가를 증명하고 싶다면 이것이 어떻게 의미가 있는지 이해하지 못합니다. 복잡한 구조를 "잊어 버리는"것만으로도 복잡한 벡터 번들을 실제 벡터 번들로 볼 수 있지만 Thom 동형 (적어도 논문에서는)이 복잡한 벡터 번들에 대해서만 정의 되었기 때문에 내가 누락 된 것 같습니다. 더 중요한 것. 나는 그것에 내 손가락을 댈 수 없기 때문에 누군가가 29 페이지의 구조를 설명해 주시면 대단히 감사하겠습니다.
답변
만약 $X$ 과 $Y$ 콤팩트하고 매끄러운 매니 폴드이고 $i\colon X\hookrightarrow Y$ 부드러운 임베딩이므로 "shriek 맵"을 정의하려고합니다.
$$i_!\colon K_c(TX)\to K_c(TY),$$ 어디 $K_c$ 이다 $K$-컴팩트 지지대 이론.
첫 번째 단계 (G. Landweber의 기사 16 페이지 또는 M. Atiyah 및 I. Singer의 The Index of Elliptic Operators : I 의 497-8 페이지 참조 )는 관 모양의 이웃을 취하는 것입니다.$N\subseteq Y$ 의 $X$. 일반 번들로 식별 할 수 있습니다.$N\to X$, 물론 실제 벡터 번들입니다. $X$. 이제 관찰하십시오$Ti\colon TX\to TY$ 임베딩이고 $TN$ 관형 이웃입니다 $TX$. 다시 말해:$TN\to TX$ 실제 벡터 번들입니다.
그러나 우리는 더 많은 것을 말할 수 있습니다. 밝혀지면$\pi\colon TX\to X$돌기이며, 그때$TN\simeq \pi^*(N\oplus N)$. 같이$N\oplus N\to X$A와 처리 될 수 복잡한 즉 (벡터 번들$N\otimes_\mathbb R \mathbb C)$, 우리는 $TN\to TX$복잡한 벡터 번들로도 처리 할 수 있습니다 . 특히 Thom 동형을 고려하는 것이 합리적입니다.$K_c(TX)\to K_c(TN)$.
절제 공리를 사용하면 다음에 대한 "분석 색인"을 정의 할 수 있습니다. $N$ 지도로 $K_c(TN)\to \mathbb Z$. (이 "분석 색인"은 콤팩트 매니 폴드에 임베딩을 통해 정의되므로 그 의미가 콤팩트 한 경우와 다릅니다). 우리는이 분석 지수가 위에 정의 된 Thom 동형과 통한다는 것을 보여주고 싶습니다. 이를 위해 우리는$N$, 일반 번들로 $X$, 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $P\times_{O(n)} \mathbb R^n$, 어디 $P$ 교장이다 $O(n)$-번들 및 $X=P/O(n)$. 그런 다음 분석 지수 의 곱셈 공리 를 사용합니다 . (이것은 증명의 가장 진보 된 부분이며 실제로 등변 성 사용을 유도합니다.$K$-이 경우 이론. 그러나$N$ 사소한 번들입니다. $O(n)$ 사소한 그룹으로 대체 가능 $1$, 등분 산이 필요하지 않습니다. 마찬가지로, 방향성$X$, 그룹을 고려하는 것으로 충분합니다. $SO(n)$, 증명을 약간 단순화하는 것).
이 구조는 복잡한 구조를 버릴 때 모든 복잡한 벡터 번들을 실제 벡터 번들로 간주 할 수 있기 때문에 실제 벡터 번들에 대해 만들어진 것 같습니다. Thom 동형에 대해 복잡한 구조를 다시 추가해야하기 때문에 이것을 정당화하는 데 어려움이 있습니다. 왜 우리가 사용하지 않는지 듣고 싶습니다.$U(n)$-벡터 번들 대신 $U(n)$콤팩트 한 Lie 그룹이기도합니다. 이런 방식으로 복잡한 벡터 번들을 형성 할 수 없습니다. 실제 벡터 번들을 일부 주요 번들의 관련 번들로 형성 할 수 있습니까?