조건이 더 나쁜 자산 상관 행렬 또는 공분산 행렬은 무엇입니까?
다변량 자산 수익률 매트릭스가있는 경우 $N$주식, 그리고 나는 그것으로부터 공분산 행렬과 상관 행렬을 계산합니다. 둘 중 어느 것이 더 높은 조건 번호를 가질 지 항상 알 수 있습니까? (무한대가 높을수록 조건이 잘 잡힌 경우 1에 가까운 것이 아니라 조건이 더 좋지 않음을 의미합니다) ? 아니면 두 개의 다른 (유형) 행렬의 조건 번호가 완전히 비교할 수 없습니까?
하나가 항상 다른 것보다 조건이 더 좋다면 이것에 대한 수학적 증거가 있습니까? 조건 번호 이외의 다른 기준은 환영합니다
답변
예, 동일한 문제에 대해 평가하는 경우 (예 : 행렬의 역함수) 행렬 조건 번호를 비교할 수 있습니다. L2의 경우 :
컨디셔닝의 추가 수학적 특성과 그 영향에 대해서는 내가 수강 한 강의 노트의 전반부를 확인하십시오. https://github.com/mandli/intro-numerical-methods/blob/master/12_LA_conditioning_stability.ipynb
무작위로 생성 된 벡터로 이것을 시도한 후, 무작위로 생성 된 숫자의 상관 행렬이 샘플링 된 분포에 관계없이 항상 공분산 행렬보다 더 잘 조건화되어 있음을 확인하고 있습니다. 공분산 행렬이 상관 행렬 앞에 존재하기 때문에 이상합니다. 상관 행렬은 공분산 행렬에서 계산되어야하며 다른 방법은 수행 할 수 없습니다.
즉, 조건이 더 나쁜 공분산 행렬은 실제로 상관 행렬로 변환 될 때 조건이 더 좋고 안정적인 행렬로 변환됩니다.
공분산 행렬에 의존하는 모든 재무 모델이 공분산의 불안정성과 불량 조건에 대한 모든 적대감을 고려할 때 대신 상관 행렬을 입력으로 사용하는 것이 더 나은지 궁금합니다. 공분산에는 분산 또는 위험이 있다는 것을 알고 있으므로 상관 관계를 엄격하게 해석하기 위해 모델을 기울이면 상관 관계가 아닌 위험이라는 더 관련성있는 측정 값을 놓칠 수 있으므로 다른 고도에 비해 해석 가능성을 우선적으로 고려하는 것 같습니다. 수치 적 불안정성과 추정 오류의 대가를 치르는 관련 옵션