조합 문제와 확률 해석

Question

가우스 벡터 변수의 경우 $w\sim N(0,I_{n\times n})$, 제곱 규범의 순간은 $\mathbb{E} \|w\|^{2 r} = \prod_{t=0}^{r-1} (n + 2 t)$.

를 기반으로 Isserlis '정리 ,$\mathbb{E} \|w\|^{2 r}$ 또한 다음과 같이 평가 될 수 있습니다. $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}(2 |p|-1)!!$$ 어디 $\mathcal{P}([r])$ 세트의 모든 파티션을 의미합니다. $[r]=\{1,\dots,r\}$, $\pi$ 파티션입니다. $p$ 파티션의 한 블록입니다. $|\pi|$ 과 $|p|$ 블록의 수와 블록의 요소 수입니다.

이제 위의 문제의 변형을 고려하십시오. $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}\frac{1}{2}~(2 |p|-1)!!$$ 위의 공식은 인자가있는 가우스 벡터 변수의 제곱 규범 모멘트와 만 다릅니다. $\frac{1}{2}$. 위 공식에 대해 비슷한 유한 제품 솔루션과 확률 해석이 있습니까?

Answer 1

고치다 $n$. 허락하다$$ G(x) = \sum_{i=0}^n \frac{n!}{(n-i)!}\frac{x^i}{i!} = (1+x)^n. $$ 허락하다 $$ F(x) = \sum_{j\geq 1}\frac 12 (2j-1)!!\frac{x^j}{j!} = \frac{1}{2\sqrt{1-2x}}-\frac 12. $$구성 공식 (Theorem 5.1.4 of Enumerative Combinatorics , vol. 2)에 따라 원하는 숫자는 다음과 같습니다.$r!$ 계수의 배 $x^r$ 에 $$ G(F(x)) = \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{\sqrt{1-2x}}\right)^n. $$ 이항 정리로 이것을 확장 한 다음 각 항을 멱급수로 확장하여 숫자에 대한 공식을 다음과 같은 합계로 얻을 수 있습니다. $n$ 자귀.