주사위 게임에서 기대 값을 계산합니다.

Question

우리는 2 단계로 게임을합니다.

1 단계에서 우리는 숫자 6을 얻을 때까지 주사위를 던지고, N은 우리가 처음으로 6을 얻을 때까지 플레이 한 횟수를 나타냅니다.

2 단계에서는 N 개의 주사위를 던집니다 (각 주사위는 한 번만).

질문 : Let$X$ 2 단계에서 얻은 결과의 합계를 나타내고 $E(X|N=n)$:

내가 아는데 것을? 알아$N$ 이다 $\operatorname{Geo}(1/6)$ 이 $E(N)=1/(1/6)=6$ 계속하려면 분포를 알아야합니다. $X|N=n$, 도움을받을 수 있습니까?

Answer 1

우리가 던지면 $n$ 주사위, 그 합계의 예상 가치는 $3.5n$. 이것은 한 주사위의 평균 점수가$3.5$ (그리고 기대치는 선형 적입니다).

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허락하다 $A_i$ 의 결과와 동일 $i$주사위 굴림. $E(A_i)$ 다음과 같은 방법으로 계산할 수 있습니다.$$\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5 \, .$$ 허락하다 $B$ 합계와 같다 $n$롤. \ begin {align} E (B) & = E (A_1) + E (A_2) + \ ldots + E (A_n) \\ & = \ underbrace {3.5 + 3.5 + \ ldots + 3.5} _ {\ text {$n$시간}} \\ & = 3.5n \,. \ end {정렬}