콤팩트 세트의 셀 수있는 분리 된 결합으로 메트릭을 공백으로 작성할 수 있습니까?

Aug 17 2020

허락하다 $ (X,d)$ 미터법 공간이되고 $\mu $ 라돈 $\sigma$-Borel에 대한 유한 측정 $\sigma$-대수학. 셀 수있는 분리형 컴팩트 세트를 찾을 수 있다고 읽었습니다.$\lbrace K_n\rbrace_{\mathbb{N}}$ 그리고 $\mu$-null 세트 $N$ 그런 $$ X=\bigcup_{\mathbb{N}}K_n\cup N. $$

나는 내부 규칙 성을 사용하여 몇 가지 결과에 도달하려고 노력했습니다. $\mu$, 하지만 아무것도 아니야. 이 진술이 사실입니까? 어떻게 증명할 수 있습니까?

답변

5 tomasz Aug 17 2020 at 21:32

여기서 중요한 가정은 $\mu$라돈 측정 값입니다. 즉, 콤팩트 세트에 대한 내부 규칙입니다 . 이 가정이 없으면 이것은 사실이 아닙니다.$\mu$ 유한합니다 (예를 들어, 모든 컴팩트 세트가 유한 한 연속 측정을 지원하는 메트릭 공간이 있습니다).

쓰다 $X=\bigcup_n X_n$, 각각 $X_n$분리 된 Borel이고 유한 한 측정입니다. 그런 다음 재귀 적으로 압축을 선택하십시오.$K_{n,m}\subseteq X_n\setminus \bigcup_{m'<m} K_{n,m'}$ 그런 $\mu((X_n\setminus \bigcup_{m'<m} K_{n,m'})\setminus K_{n,m})<1/m$. 그때$X_n\setminus \bigcup_{m} K_{n,m}$ null이므로 $X\setminus\bigcup_{n,m} K_{n,m}$ null이고 $K_{n,m}$ 분명히 분리되어 있습니다.