랜덤 변수의 가중 합계의 4 번째 모멘트를 나타내는 다항식이 sos임을 증명할 수 있습니까?
나는 다음과 같은 형태를 취하는 상관 된 랜덤 변수의 가중치 합의 4 번째 중심 모멘트를보고 있습니다.
$$\mu_4 = \sum_{i,j,k,l=1}^n w_i w_j w_k w_l \mu_{ijkl}$$
어디 $\mu_{ijkl}$ 4 차 동시 모멘트는 $n$ 랜덤 변수 및 $w_i$무게입니다. 내가 동일하게 분포되어 있다고 가정하고 상관 관계에 의해 나는 의존성 구조가 가우시안 코 퓰러에 의해 정의된다는 것을 의미하므로 상관 행렬의 함수 만 있습니다.
$\mu_4$ 다변량 음이 아닌 볼록 다항식입니다. $w_i$그리고 차수 4의 동종입니다. 수치 적으로 개별 케이스는 반 정확 프로그램을 풀면 얻을 수있는 제곱합으로 작성할 수 있습니다. 내가 아는 한 제곱합으로 쓸 수없는 음이 아닌 볼록 다항식의 특정 예는 존재하지 않으므로 이것이 항상 가능하다고 생각합니다.$\mu_4$. 나는 이것을 일반적으로 증명하는 방법에 대한 아이디어를 가진 사람이 있는지 궁금했습니다.
감사합니다.
답변
Richter와 Rogosinsky로 인해 잘 알려진 결과 (예 : Kemperman, Lemma 1, p. 69 참조 )에 의해 확률 측정이 있습니다.$\nu$A의 유한 집합$T\subset\mathbb R^n$ 그런 $$\mu_{ijkl}=\int_{T}\nu(dt)t_it_jt_kt_l=\sum_{t\in T}\nu(\{t\})t_it_jt_kt_l\tag{1}$$ 모든 $i,j,k,l$ 에 $[n]:=\{1,\dots,n\}$. 그래서,$$\mu_4=\sum_{t\in T}\nu(\{t\})\Big(\sum_{i\in[n]}w_it_i\Big)^4.$$ 그래서 실제로 $\mu_4$ 다항식 제곱의 합입니다. $w_i$'에스.
여기서 문제의 (상관 여부에 관계없이) 랜덤 변수의 공동 분포는 유한 한 한 중요하지 않습니다. $4$th 순간. 물론 동일한 제곱합 결론이$k$주문 순간 $\mu_k$ 임의 변수의 가중 합의 $k$.
물론 표현 (1)은 옳지 만, 위에서 언급 한 Kemperman의 Lemma 1은 틀린 것도 아니지만 불행히도 말이되지 않습니다. 실제로, 그 기본형에서 조건 (ii)은 "측정$\mu$ 의 위에 $S$ 유한 한 지원을 받음 ", 여기서"$S$ 특별한 토폴로지가없고 측정 가능한 공간 일뿐입니다. "물론 토폴로지가 없으면 측정 값 지원이라는 개념이 의미가 없습니다. 또한 측정 가능한 비어 있지 않은 유한 집합이없는 측정 가능한 공간도 있습니다. 측정 값에 대한 유한 지원 조건을 부주의하게 유한 집합에 정의 된 측정 값으로 렌더링했습니다. (Kemperman이 저지른 실수를 본 것은 이번이 처음이며 충분한 생각없이 Kemperman을 팔로우 한 것에 대해 사과드립니다.)
그러나 표현 (1)은 예를 들어 Winkler 의 다음 진술에서 따릅니다 .
(i) 정리 3.1, 모든 Borel 확률의 (볼록한) 집합이 폴란드 공간 (예 : $\mathbb R^n$) 유한하게 많은 일반화 된 모멘트 조건을 만족시키는 것은이 측정 세트가 비어 있지 않다면 극단적 인 지점을 갖는다.
(ii) 정리 2.1 및 예제 2.1 (a), 이러한 각 극단 점이 Dirac 측정 값의 유한 한 혼합임을 암시합니다.