라마누잔 $\sqrt{\frac{\pi e}{2}}$ 공식 [중복]

Aug 17 2020

다음 신원 은 Ramanujan 때문입니다 .

$$\DeclareMathOperator{\k}{\vphantom{\sum}\vcenter{\LARGE K}} \sqrt{\frac{\pi e}{2}}=\frac{1}{1+\k_{n=1}^\infty \frac{n}{1}}+\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)!!}$$ 또는 $$\sqrt{\frac{\pi e}{2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{\vdots}}}}+1+\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5}+\cdots $$

이 신분 증명에 관심이 있지만 링크 된 페이지를 제외하고는 참조를 찾을 수 없었습니다.

답변

5 SangchulLee Aug 17 2020 at 17:45

링크 된 페이지에서 지적했듯이 증명하는 것으로 충분합니다.

$$ 1+\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{1+\dfrac{3}{1+\ddots}}} = \sqrt{\frac{2}{\pi e}} \frac{1}{\operatorname{erfc}(1/\sqrt{2})}. \tag{1} $$

이를 위해 우리는 연속 분수의 표준 이론에 의지 할 것입니다. 밝히다$(p_n)$$(q_n)$ 다음 관계로 :

$$ \begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix} = A_1A_2\dots A_n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad\text{where}\quad A_n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. $$

그런 다음 확인하는 것이 일상입니다.

\begin{align*} p_0 &= 1, & p_1 &= 1, & p_{n+2} &= p_{n+1} + (n+1) p_n, \\ q_0 &= 0, & q_1 &= 1, & q_{n+2} &= q_{n+1} + (n+1) q_n. \end{align*}

또한 $f_A(z) = \frac{a_{11}z+a_{12}}{a_{21}z+a_{22}}$ 에 의해 유도 된 선형 분수 변환을 나타냅니다. $2\times2$ 매트릭스 $A=[a_{ij}]_{1\leq i,j\leq 2}$, 그러면 다음이 있습니다.

$$ \frac{p_n}{q_n} = f_{A_1\dots A_n}(\infty) = (f_{A_1}\circ\dots\circ f_{A_n})(\infty) = 1+\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{\ddots+\dfrac{\ddots}{1+\dfrac{n-1}{1}}}} $$

표준 이론은 또한 이것이 다음과 같이 수렴된다는 것을 확인합니다. $n\to\infty$. 따라서 한계를 다음과 같이 계산하는 것으로 충분합니다.$n\to\infty$. 이를 위해$p_n$$q_n$ 증가하고 있으며 $\infty$. 또한 지수 생성 함수를 소개하면$(p_n)$$(q_n)$ 으로

$$ y_p (x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p_n}{n!}x^n \quad\text{and}\quad y_q (x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{q_n}{n!}x^n, $$

그러면 그들은 만족한다

$$ y_p' = (1+x)y_p \quad\text{and}\quad y_q' = 1 + (1+x)y_q. $$

초기 조건과 함께이 방정식 $y_p(0) = p_0 = 1$$y_q(0) = q_0 = 0$, 적분 인자 방법으로 해결할 수 있으며,

$$ y_p(x) = e^{x+\frac{x^2}{2}} \quad \text{and} \quad y_q(x) = e^{x+\frac{x^2}{2}}\sqrt{\frac{\pi e}{2}} \left( \operatorname{erf}\left(\frac{1+x}{\sqrt{2}}\right) - \operatorname{erf}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right). $$

이제 아벨 정리에 대한 표준 인수를 호출하여

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{p_n}{q_n} = \lim_{x\to\infty} \frac{y_p(x)}{y_q(x)} = \sqrt{\frac{2}{\pi e}} \frac{1}{\operatorname{erfc}\left(1/\sqrt{2}\right)} $$

필요에 따라.