만약 $(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ 연속적이고 수렴 $f$ 포인트 $f$리만 통합 가능합니까? [복제]
나는 다음 질문을 해결하려고 노력하고 있습니다
참 또는 거짓? 만약$(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ 수렴하는 연속 함수의 시퀀스입니다. $f$ 포인트로 $f$ Riemann은 통합 가능하며 $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$
의견의 도움 으로이 반례를 찾았 지만 더 간단한 것이 있기를 바랍니다.
Riemann 적분을 Lebesgue 적분으로 대체하면 결과는 Dominated Convergence Theorem에 의해 사실입니다. 이것은$f$ Riemann Integrable입니다. $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$ 따라서 반례를 찾을 때 우리는 $f$ Riemann은 통합 할 수 없습니다.
도움을 주셔서 대단히 감사합니다.
답변
고전적인 반례는 다음과 같습니다. $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$. 허락하다$f_n(x)=\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$ (양의 감소 시퀀스의 한계이기 때문에 존재 함) $n_0$ 그런 $f_{n_0}$ 반례를 형성하는 리만 적분이 아닙니다. $x\mapsto\cos(n! \pi x)^{2m}$ 모두를위한 Riemann 통합 가능 $m$, $f_n$ 모두 Riemann과 통합 가능하지만 $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ Riemann과 통합 할 수없고 $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f_n(x)$, 그렇다면 이것은 반례입니다.