만약 $M$ ZFC 동형의 표준 클래스 모델입니다. $V$, 그러면 $M = V$?

Question

다음 문장을 고려하십시오. (T) "If $M$ ZFC 동형의 표준 클래스 모델입니다. $V$, 다음 $M = V$. "문 (T)은 다음과 같습니다."표준 클래스 모델의 전 이적 붕괴 $M$ ZFC의 $V$, 다음 $M = V$. "이것은 클래스의 전 이적 붕괴 때문입니다. $M$ 요소 측면에서 동형 인 고유 전이 클래스입니다. $M$.

여기서 ZFC의 표준 클래스 모델 이란 요소 관계가 실제 요소 관계인 ZFC의 클래스 모델을 의미합니다.

ZFC가 일관성이 있다고 가정합니다. ZFC는 (T)를 증명합니까? ZFC가 반증합니까 (T)? 둘 다 아니오 인 경우, 일부 추가 큰 추기경 공리가있는 ZFC가 반증 (T)합니까?

Answer 1

아니오. 정의 $F:V\to V$ 으로 $\in$-재귀 $F(x)=\{F(y):y\in x\}\cup\{\emptyset\}$. 분명히$F(x)$ 모두에게 비어 있지 않다 $x$. 또한,$F$ 주입 형 : if $F(x)=F(x')$, 다음에 유도하여 $\max(\operatorname{rank}(x),\operatorname{rank}(x'))$ 우리는 가정 할 수 있습니다 $F$ 에 주사하다 $x\cup x'$. 이후$F(x)=F(x')$ 우리는 가져야한다 $\{F(y):y\in x\}=\{F(y):y\in x'\}$, 하지만 이후 $F$ 에 주사하다 $x\cup x'$ 이것은 의미 $x$ 과 $x'$ 동일한 요소를 가지므로 $x=x'$. 또한 명확하게$y\in x$ 암시 $F(y)\in F(x)$, 그리고 그 반대는 $F$.

종합 해보면 $F$ 동형은 $(V,\in)$ ...에 $(M,\in)$ 어디 $M$ 의 이미지입니다 $F$. 그러나$M\neq V$, 이후 $\emptyset\not\in M$.