미분 가능한 속도 장에 의해 유도 된 유동은 미분 가능
허락하다 $E$ 될 $\mathbb R$-Banach 공간, $\tau>0$ 과 $v:[0,\tau]\times E\to E$ 그런$^1$ $$x\mapsto t\mapsto v(t,x)\tag1$$ 속하다 $C^{0,\:1}(E,C^0([0,\tau],E))$. 이것은 고유 한$X^x\in C^0([0,\tau],E)$ 와 $$X^x(t)=x+\int_0^tv(s,X^x(s))\:{\rm d}s\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau]\tag2$$ 모든 $x\in E$. 이제 가정$$v(t,\;\cdot\;)\in C^1(E,E)\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau]\tag3$$ 과 ${\rm D}_2v$(공동으로) 연속적입니다. 다시 말하지만 이것은 고유 한$Y^x\in C^0([0,\tau],\mathfrak L(E))$ 와 $$Y^x(t)=\operatorname{id}_E+\int_0^tw_x(s,Y^x(s))\:{\rm d}s\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau],$$ 어디$^2$ $$w_x(t,A):={\rm D}_2v(t,X^x(t))A\;\;\;\text{for }(t,A)\in[0,\tau]\times\mathfrak L(E),$$ 모든 $x\in E$.
나는 그것을 보여주고 싶다 $$E\to C^0([0,\tau],E)\;,\;\;\;x\mapsto X^x$$ Fréchet은 미분 할 수 있고 도함수는 $x$ ~에 의해 주어진다 $Y^x$ 모든 $x\in E$.
나는이 주장을 보여줄 수있다. $v(t,\;\cdot\;)\in C^2([0,\tau],E)$ 과 ${\rm D}_2^2v$ Taylor의 정리가 적용될 수 있기 때문에 (공동으로) 연속적입니다.
일반적인 경우 : Let $x,h\in E$및 \ begin {equation} \ begin {split} Z (t) & : = X ^ {x + h} (t) -X ^ x (t) -Y ^ x (t) h \\ & = \ int_0 ^ tv \ left (s, X ^ {x + h} (s) \ right) -v \ left (s, X ^ x (s) \ right)-{\ rm D} _2v \ left (s, X ^ x (s) \ right) Y ^ x (s) h \ : {\ rm d} s \ end {split} \ tag5 \ end {equation} for$t\in[0,\tau]$. 우리는 쓸 수 있습니다 \ {분할} 시작 \ {식} 시작 & V \ 왼쪽 (S, X ^ {X + H} (S) \ 오른쪽) -v \ 왼쪽 (S, X ^ X (들) \ 오른쪽) - { \ rm D} _2v \ left (s, X ^ x (s) \ right) Y ^ x (s) h \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; = v \ left ( s, X ^ {x + h} (s) \ right) -v \ left (s, X ^ x (s) \ right) \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;-{\ rm D} _2v \ left (s, X ^ x (s) \ right) \ left (X ^ {x + h} (s) -X ^ x (s) \ right) \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; + {\ rm D } _2v \ left (s, X ^ x (s) \ right) Z (s) \ end {split} \ tag6 \ end {equation} for all$s\in[0,\tau]$. 허락하다$$c_x:=\sup_{t\in[0,\:\tau]}\left\|{\rm D}_2v\left(X^x(t)\right)\right\|_{\mathfrak L(E)}<\infty\tag7$$ 과 $c_1$ Lipschitz 상수를 나타냅니다. $v$. 그런 다음 \ begin {equation} \ begin {split} \ sup_ {s \ in [0, \ : t]} \ left \ | \ left (X ^ {x + h} -X ^ x \ right) '(s ) \ right \ | _E & = \ sup_ {s \ in [0, \ : t]} \ left \ | v \ left (s, X ^ {x + h} (s) \ right) -v \ left (s , X ^ x (s) \ right) \ right \ | _E \\ & \ le c_1 \ sup_ {s \ in [0, \ : t]} \ left \ | \ left (X ^ {x + h}- X ^ x \ right) (s) \ right \ | _E \ le c_1e ^ {c_1t} \ left \ | h \ right \ | _E \ end {split} \ tag8 \ end {equation} for all$t\in[0,\tau]$. 이제 문제는 적합한 경계를 찾는 것입니다.$v\left(s,X^{x+h}(s)\right)-v\left(s,X^x(s)\right)-{\rm D}_2v\left(s,X^x(s)\right)Y^x(s)h$. 분명히, \ begin {equation} \ begin {split} & \ sup_ {s \ in [0, \ : t]} \ left \ | v \ left (s, X ^ {x + h} (s) \ right) -v \ left (s, X ^ x (s) \ right)-{\ rm D} _2v \ left (s, X ^ x (s) \ right) Y ^ x (s) h \ right \ | _E \ \ & \; \; \; \; \; \; \; \; \ le \ max (c, c_1) e ^ {c_1t} \ left \ | h \ right \ | _E + c \ sup_ {s \ in [0, \ : t]} \ left \ | Z (s) \ right \ | _E \ end {split} \ tag9 \ end {equation} for all$t\in[0,\tau]$.
이제 일반적인 지침은 Gronwall의 불평등을 호출하는 것입니다. 그러나 추정$(9)$ Fréchet의 차별화 가능성을 결론 짓기에는 너무 약합니다. 왜냐하면 오른쪽에는 $\left\|h\right\|_E^2$ 대신에 $\left\|h\right\|_E$ (이것이 테일러의 정리에 의해, 앞서 언급 한 두 번의 미분 성을 가정한다면).
이 문제를 해결하기 위해 무엇을 할 수 있습니까?
$^1$ 그래서, $v$ Lipschitz는 첫 번째 인수에 대해 균일하게 두 번째 인수에 대해 연속적이며 첫 번째 인수에 대해 두 번째 인수에 대해 기껏해야 선형 성장을 가지며 (공동으로) 연속적입니다.
$^2$ 모든 $x\in E$, $w_x$ 동일한 Lipschitz 및 선형 성장 특성을 $v$.
답변
허락하다 $$\left\|f\right\|_t^\ast:=\sup_{s\in[0,\:t]}\left\|f(s)\right\|_E\;\;\;\text{for }f:[0,\tau]\to E\text{ and }t\in[0,\tau],$$ $c_1\ge0$ 와 $$\left\|v(\;\cdot\;,x)-v(\;\cdot\;,y)\right\|_\tau^\ast\le c_1\left\|x-y\right\|_E\tag{10}$$ 과 $$T_t(x):=X^x(t)\;\;\;\text{for }(t,x)\in[0,\tau]\times E.$$
확인하기 쉬운 다음과 같은 결과가 필요합니다.
- $T_t$ 모두에게 bijective $t\in[0,\tau]$, $$[0,\tau]\ni t\mapsto T_t^{-1}(x)\tag{11}$$ 모두에게 연속적이다 $x\in E$ 과 $$\sup_{t\in[0,\:\tau]}\left\|T_t^{-1}(x)-T_t^{-1}(y)\right\|_E\le e^{c_1}\tau\left\|x-y\right\|_E\tag{12}.$$
- $$[0,\tau]\times E\ni(t,x)\mapsto T_t(x)\tag{13}$$ (공동으로) 연속적입니다.
- $$\left\|X^x-X^y\right\|_t^\ast\le e^{c_1t}\left\|x-y\right\|_E\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau]\text{ and }x,y\in E\tag{14}.$$
이제 $x\in E$. 나는 그것을 주장한다$$\frac{\left\|X^{x+h}-X^x-Y^xh\right\|_\tau^\ast}{\left\|h\right\|_E}\xrightarrow{h\to0}0\tag{15}.$$
허락하다 $\varepsilon>0$. 이후$(13)$ 연속적입니다. $$K:=\left\{\left(t,X^y(t)\right):(t,y)\in[0,\tau]\times\overline B_\varepsilon(x)\right\}$$컴팩트합니다. 허락하다$$\omega(\delta):=\sup_{\substack{(t,\:y_1),\:(t,\:y_2)\:\in\:K\\\left\|y_1-y_2\right\|_E\:<\:\delta}}\left\|{\rm D}_2v(t,y_1)-{\rm D}_2v(t,y_2)\right\|_{\mathfrak L(E)}\;\;\;\text{for }\delta>0.$$ 참고 $\omega$감소하지 않습니다. 이후${\rm D}_2v$ (공동으로) 연속적입니다. $K$ 따라서 $$\omega(\delta)\xrightarrow{\delta\to0+}0\tag{16}.$$ 미적분학의 기본 정리에 의해 $$v(t,y_2)-v(t,y_1)=\int_0^1{\rm D}_2v\left(t,y_1+r(y_2-y_1)\right)(y_2-y_1)\:{\rm d}r\tag{17}$$ 모든 $t\in[0,\tau]$ 과 $y_1,y_2\in E$따라서 \ begin {equation} \ begin {split} & \ left \ | v (t, y_2) -v (t, y_1)-{\ rm D} _2v (t, y_1) (y_2-y_1) \ right \ | _E \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ le \ left \ | y_1-y_2 \ right \ | _E \ int_0 ^ 1 \ left \ | {\ rm D} _2v (t, y_1 + r (y_2-y_1))-{\ rm D} _2v (t, y_1) \ right \ | _ {\ mathfrak L (E)} {\ rm d} r \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ le \ left \ | y_1-y_2 \ right \ | _E \ omega \ left (\ left \ | y_1-y_2 \ right \ | _E \ right) \ end {split} \ tag {18} \ end {equation} 모두$t\in[0,\tau]$ 과 $y_1,y_2\in E$ 와 $$(t,y_1+r(y_2-y_1))\in K\;\;\;\text{for all }r\in[0,1)\tag{19}.$$ 이제 $h\in B_\varepsilon(x)\setminus\{0\}$및 \ begin {equation} \ begin {split} Z (t) & : = X ^ {x + h} (t) -X ^ x (t) -Y ^ x (t) h \\ & = \ int_0 ^ tv \ left (s, X ^ {x + h} (s) \ right) -v \ left (s, X ^ x (s) \ right)-{\ rm D} _2v \ left (s, X ^ x (s) \ right) Y ^ x (s) h \ : {\ rm d} s \ end {split} \ tag {20} \ end {equation} for$t\in[0,\tau]$. 그것을 관찰하십시오$^1$ $$\left(t,X^x(t)+r\left(X^{x+h}(t)-X^x(t)\right)\right)\in K\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau]\text{ and }r\in[0,1)\tag{21}$$따라서 \ begin {equation} \ begin {split} & \ left \ | v \ left (t, X ^ {x + h} (t) \ right) -v \ left (t, X ^ x (t) \ 오른쪽)-{\ rm D} _2v \ left (t, X ^ x (t) \ right) \ left (X ^ {x + h} (t) -X ^ x (t) \ right) \ right \ | _E \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ le \ left \ | X ^ {x + h} (t) -X ^ x (t ) \ right \ | _E \ omega \ left (\ left \ | X ^ {x + h} (t) -X ^ x (t) \ right \ | _E \ right) \\ & \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \ le e ^ {c_1t} \ left \ | h \ right \ | _E \ omega \ left (e ^ {c_1t} \ left \ | h \ right \ | _E \ right) \ end {split} \ tag {24} \ end {equation} by$(18)$ 과 $(14)$ 모든 $t\in[0,\tau]$. 허락하다$$a:=e^{c_1\tau}\omega\left(e^{c_1\tau}\left\|h\right\|_E\right).$$ 으로 $(6)$ 과 $(24)$, \ begin {equation} \ begin {split} & \ left \ | v \ left (s, X ^ {x + h} (s) \ right) -v \ left (s, X ^ x (s) \ right )-{\ rm D} _2v \ left (s, X ^ x (s) \ right) Y ^ x (s) h \ right \ | _E \\ & \; \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; e ^ {c_1s} \ left \ | h \ right \ | _E \ omega \ left (e ^ {c_1s} \ left \ | h \ right \ | _E \ right) + c_x \ left \ | Z \ right \ | _s ^ \ ast \ le a \ left \ | h \ right \ | _E + c_x + \ left \ | Z \ right \ | _s ^ \ ast \ end {split} \ tag { 25} \ end {equation} 모두$s\in[0,\tau]$따라서 \ begin {equation} \ begin {split} \ left \ | Z \ right \ | _t ^ \ ast & \ le \ int_0t ^ t \ left \ | v \ left (s, X ^ {x + h} (s ) \ right) -v \ left (s, X ^ x (s) \ right)-{\ rm D} _2v \ left (s, X ^ x (s) \ right) Y ^ x (s) h \ right \ | _E {\ rm d} s \\ & \ le a \ left \ | h \ right \ | _Et + c_x \ int_0 ^ t \ left \ | Z \ right \ | _s ^ \ ast {\ rm d} s \ {단부 분할} \ 태그 {26} \ {식 단부} 모든$t\in[0,\tau]$. 따라서 Gronwall의 불평등으로 인해$$\left\|Z\right\|_t^\ast\le a\left\|h\right\|_Ete^{c_xt}\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau]\tag{27}$$ 따라서 $$\frac{\left\|Z\right\|_\tau^\ast}{\left\|h\right\|_E}\le a\tau e^{c_x\tau}\xrightarrow{h\to0}0\tag{28}.$$
이것으로 증명이 완료되고지도가 $$E\to C^0([0,\tau],E)\;,\;\;\;x\mapsto X^x$$ Fréchet은 $x$ 다음과 같은 미분 $Y^x$ 모든 $x\in E$.
$^1$ 허락하다 $t\in[0,\tau]$, $r\in[0,1)$, $$z:=(1-r)X^x(t)+rX^{x+h}(t)$$ 과 $$y:=T_t^{-1}(z).$$ 건설 $$X^y(t)=z\tag{22}$$ 따라서 $$(t,z)\in K\Leftrightarrow y\in\overline B_\varepsilon(x).$$ 으로 $(12)$ 과 $(14)$, $$\left\|x-y\right\|_E=\left\|T_t^{-1}(T_t(x))-T_t^{-1}(z)\right\|_E\le e^{c_1t}\left\|T_t(x)-z\right\|_E\le e^{2c_1t}\left\|h\right\|_E\tag{23}.$$ 이후 $\left\|h\right\|_E<\varepsilon$ 과 $e^{2c_1t}\le 1$, 우리는 $\left\|x-y\right\|_E<\varepsilon$ 따라서 $y\in\overline B_\varepsilon(x)$.